유리함수

1. 개요2. 정의역과 치역

2.1. 일반형2.2. 표준형

3. 그래프

3.1. 대칭이동·평행이동

3.1.1. 역함수

3.2. 점근선

3.2.1. 극한

4. 부분분수분해5. 오개념: 연속성6. 도함수7. 역도함수

7.1. 특수한 경우7.2. 일반적인 경우

8. 기타

1. 개요 [편집]

rational function · 有理函數

유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 대수함수다. 상수만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 다항함수도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 분수함수라고도 한다.

f(x)=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}}

여기서

a_{k}

,

b_{k}

는 상수이다.

유리함수의 분모가 0이 되는

x

값이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 잘 정의되지 않아 함수가 아니게 되기 때문.

이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

일반형: $y=\dfrac{cx+d}{ax+b}$ (단, $a\neq 0,\;ax+b\neq 0,\;ad\neq bc$ )
표준형: $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ (단, $k\neq 0,\;p\neq 0$ )

분모가 0이 될 수 없으므로

ax+b\neq 0,\;p\neq 0

이어야 한다. 한편,

k=0

이면

y=q

라는 상수함수가 되고,

a=0

이면

y={(cx+d)}/{b}

라는 일차함수가 되고,

ad=bc

이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가,

c=d=0

인 경우

y=0

이라는 상수함수가 되는데 이는 마침

ad=bc

의 충분조건이므로 따로 기술할 필요가 없다.

2. 정의역과 치역 [편집]

2.1. 일반형 [편집]

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우

ax+b\neq 0

이어야 하므로 정의역은

\displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \neq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \}

를 만족시켜야 하고,

\begin{aligned} f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\cfrac {ad-\dfrac{bc}{a^2}}{x+\dfrac{b}{a}}+\dfrac{c}{a} \end{aligned}

에서

ad-(bc)/a^2\neq 0

이므로 치역은 다음과 같다.

\displaystyle \left\{ f(x) \biggl. \biggr|f(x) \neq \dfrac{c}{a},\,f(x) \in \mathbb{R} \right\}

2.2. 표준형 [편집]

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우

p\neq 0

이어야 하므로 정의역은

\displaystyle \{ x |x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \}

를 만족시켜야 하고,

k\neq 0

이므로 치역은 다음과 같다.

\displaystyle \{ f(x)|f(x) \neq q,\,f(x) \in \mathbb{R} \}

3. 그래프 [편집]

y=\dfrac{k}{x-p}+q

(단,

k\neq 0,\;p\neq 0

)

의 그래프의 성질은 다음과 같다.

한 쌍의 매끄러운 곡선[1]으로 그려진다.
- $k>0$ 이면 우상단과 좌하단에 그려진다.
- $k<0$ 이면 좌상단과 우하단에 그려진다.
직선 $x=p$ , $y=q$ 와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 점근선이라 한다.
- $|k|$ 가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다.
점 $(p,\,q)$ 에 대하여 대칭이다.
직선 $y=(x-p)+q$ 에 대하여 대칭이다.
직선 $y=-(x-p)+q$ 에 대하여 대칭이다.

파일:namu_유리함수_그래프.png

3.1. 대칭이동·평행이동 [편집]

y=\dfrac{k}{x-p}+q

(단,

k\neq 0,\;p\neq 0

)

의 그래프는

y={k}/{x}

의 그래프를

x

축 방향으로

p

만큼,

y

축 방향으로

q

만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴

y={k}/{x}

를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다.

$y=-\dfrac{k}{x}$
- $y=\dfrac{k}{x}$ 를 $x$ 축( $y$ 축)에 대하여 대칭이동
- 정의역은 $\displaystyle \{ x|x \neq 0,\,x \in \mathbb{R} \}$
- 치역은 $\displaystyle \{ y|y \neq 0,\,y \in \mathbb{R} \}$

$y=\dfrac{k}{x-p}+q$
- $y=\dfrac{k}{x}$ 를 $x$ 축 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 평행이동
- 정의역은 $\displaystyle \{ x|x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \}$
- 치역은 $\displaystyle \{ y|y \neq q,\,y \in \mathbb{R} \}$

3.1.1. 역함수 [편집]

유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉,

\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{cx+d}{ax+b} \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{-bx+d}{ax-c} \quad (-bx+d\neq 0,\;ad\neq bc,\, a \neq 0) \\ f(x)&=\dfrac{k}{x-p}+q \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{k}{x-q}+p \quad (x\neq q) \end{aligned}

유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, 점근선의 교점이 직선 $y=x$ 에 대칭이라는 관계가 있다. 다시 말해서 원래 함수의 점근선이

x=p

및

y=q

이면, 역함수의 점근선은

x=q

및

y=p

이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선

y=x

에 대하여 대칭이 된다.

3.2. 점근선 [편집]

y=\dfrac{k}{x-p}+q

(단,

k\neq 0,\;p\neq 0

)

의 점근선

x=p

와

y=q

의 보다 자세한 성질은 다음과 같다.

두 점근선의 교점 $(p,\,q)$ 에 대하여
- $(p,\,q)$ 를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, $k$ 와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. $k>0$ 이면 -1이고 $k<0$ 이면 1이다.
- 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다.

위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선

l: y=(x-p)+q

에 대하여

\begin{aligned}\dfrac{k}{x-p}+q&=(x-p)+q\\\dfrac{k}{x-p}&=x-p\\k&=(x-p)^2\\\therefore x&=\sqrt k+p\end{aligned}

두 그래프의 교점의

x

좌표

x=\sqrt k+p

를 도함수 문단을 참고하여

f'(x)=-\dfrac{k}{(x-p)^2}

에 대입하면

-\dfrac{k}{(\sqrt k+p-p)^2}=-\dfrac{k}{k}=-1

따라서

k>0

이면

f(x)

와

l

의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로,

k<0

이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다.

3.2.1. 극한 [편집]

f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{k}{x-p}+q

의 극한은 점근선과 관련이 있다.

일반형
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{c}{a}$
- 그래프가 $x$ 축 방향으로 진행하면 점근선 $y=\dfrac{c}{a}$ 에 한없이 가까워짐
표준형
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{k}{x-p}+q=q$
- 그래프가 $x$ 축 방향으로 진행하면 점근선 $y=q$ 에 한없이 가까워짐

한편, 역함수

f^{-1}(x)

의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다.

일반형
- $\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-by+d}{ay-c}=-\dfrac{b}{a}$
- 그래프가 $y$ 축 방향으로 진행하면 점근선 $x=-\dfrac{b}{a}$ 에 한없이 가까워짐
표준형
- $\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{k}{y-q}+p=p$
- 그래프가 $y$ 축 방향으로 진행하면 점근선 $x=p$ 에 한없이 가까워짐

4. 부분분수분해 [편집]

유리함수는 다음을 만족하는 유리함수

p(x)/\{q(x)\}^{n}

들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다.

$q(x)$ 는 일차함수이거나, 기약[2] 이차함수이다.
$p(x)$ 의 차수는 $q(x)$ 의 차수보다 작다.

5. 오개념: 연속성 [편집]

많은 학생들이 가지고 있는 오개념으로는, '분모가

0

인

x

가 존재하는 유리함수는 실수 위에서 불연속이다'가 있다. 그러나, 그런 유리함수를 실수 위에서 정의하면, 함수 자체가 될 수 없으므로, 분모가

0

인

x

를 고려할 필요가 없다. 다른 초등함수와 마찬가지로, 유리함수는 항상 연속함수이다.[3]

6. 도함수 [편집]

\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2}

이므로, 일반형의 경우

f(x)=cx+d,\, g(x)=ax+b

라고 하면

\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{cx+d}{ax+b} = \dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}

표준형의 경우

f(x)=k,\,g(x)=x-p

라고 하면

q

는 상수이므로

\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\dfrac{k}{x-p}+q\right)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{k}{x-p}=-\dfrac{k}{(x-p)^2}

여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

일반형
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0$
- 그래프가 $x$ 축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
표준형
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(x-p)^2}=0$
- 그래프가 $x$ 축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴

나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

일반형
- $\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0$
- 그래프가 $y$ 축 방향으로 진행하면 기울기가 $\infty$ 로 발산[4]
표준형
- $\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(y-q)^2}=0$
- 그래프가 $y$ 축 방향으로 진행하면 기울기가 $\infty$ 로 발산[5]

7. 역도함수 [편집]

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수를 생각해보자.

f(x)=\begin{cases}\ln x +C& \quad (x>0)\\ \ln\, (-x)+D &\quad(x<0) \end{cases}

이때,

f

의 도함수는

f'(x)=x^{-1}

로 계산된다. 즉, 분모가

0

인

x

가 존재하는 유리함수의 경우, 부정적분이 조각적으로 정의되는 함수가 되는데, 정의역이 서로소인 두 개 이상의 열린구간의 합집합이기 때문이다.[6] 정의역을 열린구간으로 한정한 경우, 위 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\displaystyle \int \frac{1}{x}\,{\rm d}x=\ln{|x|}+ {\sf const.}

7.1. 특수한 경우 [편집]

$\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x+a)^{n+1}}=-\dfrac{1}{n(x+a)^{n}}+C\quad (n\in\mathbb{N})$
$\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x+a}=\ln |x+a|+C$
$\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{|x|}= {\rm sgn}\,x \ln |x| + C$ [7]
$\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = \arctan x + C$
- $\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x^2+a^2}= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$
- $\displaystyle \int \frac{x^2 -1}{x^2 +1}{\rm d}x = x - 2\arctan x + C$
$\displaystyle \int -\frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = {\rm arccot}\, x + C$
$\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{-x^2 +1} = \begin{cases}{\rm arcoth}\,x +C&{\sf if}\;\;|x|>1\\ {\rm artanh}\,x+C&{\sf if}\;\;|x|<1 \end{cases}$
- $\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{\mp x^2 \pm a^2} = \begin{cases}\pm \dfrac{1}{a}{\rm arcoth}\,\dfrac{x}{a} +C& \quad (|x|>1)\\ \\ \pm \dfrac{1}{a}{\rm artanh}\,\dfrac{x}{a}+C&\quad (|x|<1) \end{cases}$
- $\displaystyle \int \frac{-x^2 -1}{-x^2 +1}{\rm d}x = \begin{cases}{x - 2\,\rm arcoth}\,x +C&\quad (|x|>1)\\ x-2\,{\rm artanh}\,x+C&\quad (|x|<1) \end{cases}$
$\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}{\rm d}x=\ln |f(x)|+C$ (단, $f(x)$ 는 다항식)
$A_{n}=\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}$ 이면, 점화식 $A_{n+1}=\dfrac{1}{2na^{2}}\left\{\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)A_{n}\right\}$ 이 성립한다. (단, $n\in\mathbb{N}$ 이고, $a\neq 0$ )

(단,

C

는 적분 상수이다.)

7.2. 일반적인 경우 [편집]

주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단,

n\in\mathbb{N}

,

b\neq 0

)

다항함수
$\dfrac{1}{(x-a)^{n}}$
$\dfrac{x-a}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}}$
$\dfrac{1}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}}$

1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서

A_{n}

의 점화식을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다.

8. 기타 [편집]

중학교 수학에서 정비례와 반비례를 다루면서 처음 접하게 된다.
고등학교 교육과정상 수학의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 미적분에서는 몫의 미분법을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다.
미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[8], 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 계산 노가다가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 초등함수 [9]와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다. 따라서 울프램알파 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, 알고리즘을 이용해서 계산한다.
조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다.
푸리에 변환을 하면 부호 함수를 얻을 수 있다.

[1] 실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형

\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1

로 변형할 수 있다.[2] 인수분해가 되지 않는[3] 학교 선생님들도 간혹 잘못 알고 있는 경우가 있는데, 고등학교 교육과정 상, 극한과 연속의 정의를 두루뭉술하게 하고 넘어가므로, 이를 가지고 싸울 필요가 없다. 고등학생들의 연속함수에 대한 오개념에 대해서는 논문을 참조하자.[4]

y

축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면

x

축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.[5]

y

축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면

x

축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.[6] 하지만, 정의역 전체에서 생각해야하는 경우가 거의 없으므로 대부분 신경 안 쓰는 편. 부정적분을 활용하는 대표적인 예로는, 정적분을 계산하는 것인데, 이 경우에도 정의역에 포함되는 닫힌구간에서만 생각하는 것이다.[7]

{\rm sgn}

은 부호 함수이다.[8] 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.[9] 가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.