무리함수

irrational function · 無理函數

중등 교육과정 전용 용어로, $y=\sqrt{x+4}$, $y=\sqrt[3]{x^2+2x}+5$와 같이 무리식이 포함된 함수를 말한다. 이 문서에서는 중등 교육과정에서 다루는 다음과 같은 꼴을 주로 설명한다.

무리함수에는 근호가 포함되어 있고, 근호 안에는 음수가 올 수 없기 때문에 $f(x)=\sqrt{ax+b}+c$ (단, $a>0$)에 대하여 정의역은

를 만족시켜야 하고, 치역은

이 된다. 특히 $b=c=0$일 때, 함수의 꼴은 $f(x)=\sqrt{ax}$가 되고,

무리함수 $y=\pm \sqrt{ax+b}+c$의 그래프의 성질은 다음과 같다.

모든 무리함수의 그래프는 평행이동을 통하여 $y=\pm \sqrt{\pm ax}$ 형태로 바꿀 수 있으므로 이 함수들의 그래프만 따져보면 된다. 다음은 무리함수 $y=\pm \sqrt{\pm ax}\;(a>0)$의 그래프이다.

파일:나무_무리함수_그래프_11.png

무리함수 $y=\pm \sqrt{ax+b}+c$의 그래프는 $y=\pm \sqrt{ax}$를 평행이동하면 된다. 예시로 $y=\sqrt{-2x-4}+3$은 $y=\sqrt{2x}$를 $y$축에 대하여 대칭이동 한 후 $x$축 방향으로 $-2$만큼, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다.

파일:나무_무리함수_그래프_예시.png

무리함수 $f(x)=\sqrt{ax+b}+c$ (단, $a>0$)는

형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-{b}/{a}$만큼, $y$축 방향으로 $c$만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 $y=\sqrt{ax}$에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다.

무리함수 $y=\pm \sqrt{ax+b}+c$의 역함수를 구하기 위해 $x$와 $y$의 자리를 바꾸면

양변을 제곱하여 정리하면

로 이차함수가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다.

모든 무리함수의 그래프는 무리함수 $y=\sqrt{ax} \;(a>0)$의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 $y=\sqrt{ax} \;(a>0)$만 논해도 무방하다.

$y=\sqrt{ax} \;(a>0)$의 극한값은

이고, 이는 변형된 엡실론-델타 논법으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 $M$에 대하여

을 만족시키는 양수 $K$가 존재함을 보이면 된다.

따라서 $\displaystyle K = {M^{2}}/{a}$으로 택하면 충분하고,

이므로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty$임을 알 수 있다.

고등학교 수준에서는 '$x$가 무한히 커지면 $\sqrt{ax}$도 무한히 커지므로 $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty$'로 알면 충분하다.

무리함수 $f(x)=\sqrt[n]{x}$의 도함수는 다음과 같다.


이 도함수는 $x=0$에서의 기울기를 기술할 수 없음을 나타낸다. 즉, $x=0$의 접선은 $x$축에 수직이므로 기울기가 발산한다.

무리함수 $f(x)=\sqrt[n]{x}$의 역도함수는

이다. $\textsf{const.}$는 적분 상수이며 $C$로도 쓴다.

피적분함수가 $\sqrt[n]{ax+b}$ (단, $a$, $b$는 상수)를 포함할 때는 $\displaystyle \sqrt[n]{ax+b}=t$로 치환하면 피적분함수가 $t$에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.

피적분함수가 $\displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}$ (단, $a\sim d$는 상수)를 포함할 때는 $\displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t$로 치환하면 피적분함수가 $t$에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.

피적분함수가 $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$ (단, $a$는 상수) 형태일 때 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.

피적분함수가 $\sqrt{ax^2+bx+c}$ (단, $a$, $b$, $c \neq 0$)을 포함할 때, $a$의 부호에 따라 적분한다.

[1] $\boldsymbol{a>0}$

로 치환하여 피적분함수를 $t$에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다.

[2] $\boldsymbol{a<0}$
이차식 $ax^2+bx+c$를 $a(x-\alpha)(x-\beta)$로 인수분해하여

로 치환한 뒤

이고,

임을 이용하여 적분한다.

무리함수의 적분으로 정의되는 특수함수다.