치환적분

복잡한 합성함수를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 $\dfrac{\sin x}{x}$라거나 $e^{-x^2}$이라거나..[1] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석을 이용할 수 있다.

$x=g(t)$ 이고 $g(t)$가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.

대부분의 고등학생이라면 분명 기호에 불과하다고 배웠던 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$를, 마치 분수처럼 계산해서 $\mathrm{d}x = g'(t) \,\mathrm{d}t$와 같은 식으로 $\mathrm{d}x$나 $\mathrm{d}y$라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[3]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.

추가로 치환적분법이 한 참고서[4]에 따르면 '$x=g(t)$가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 $x=g(t)$라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 $x=g(t)$가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다.
위와 같은 말이 나온 이유는, $x=g(t)$가 일대일대응이 아닐경우, $x=g(t)$의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 $x=g(t)$의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다.

다음 부정적분을 구하시오.

다음 부정적분을 구하시오.

[풀이 1]

[풀이 2]

이 때 $\displaystyle \ln{\left|\sec x\right|} = \ln{\left|\frac1{\cos x}\right|} = \ln{\left|\cos x\right|^{-1}} = -\ln{\left|\cos x\right|}$이므로 두 결과는 일치한다.

다음 부정적분을 구하시오.

$e^{ax+b}=t$라고 두면 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at$이므로 $\mathrm{d}x= \dfrac{\mathrm{d}t}{at}$로 바꾸어 대입하면

$\displaystyle \sqrt{1+t}=k$라고 두면, $t=k^2-1$이고 $\mathrm{d}t = 2k\,\mathrm{d}k$이므로 이를 대입하면

셋째줄에서 넷째줄로 넘어갈 때 부분분수분해법을 사용했다.

변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
대개 $\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x$는 $x = a\sin t$로, $\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x$는 $x = a\tan t$로 치환하여 적분한다.
$\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x$는 $x>0$일 땐 $x = a\sec t$로, $x<0$일 땐 $x = a\csc t$로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.

다음 부정적분을 구하시오.

일단 $\displaystyle x = a\sin t$로 두고, $t$의 범위는 $-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2$로 둔다. 양 변을 $t$에 대해서 미분하면 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t$이고, 이 식을 $\mathrm{d}x = a\cos t \,\mathrm{d}t$로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

$\cos\biggl( \arcsin \dfrac xa \biggr)$를 구하기 위해 $\sin^2t+\cos^2t=1$에 $t=\arcsin{\dfrac xa}$를 대입하면

이 식을 위의 적분 결과에 대입하면 다음과 같다.

다음 부정적분을 구하시오.

$\ln x=t$로 두면 $x=e^t$이고, $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^t$이므로 $\mathrm{d}x=e^t\,\mathrm{d}t$가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

$\ln x=t$로 치환했었으니 다시 $x$에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.

닫힌 구간 $\left[a,\,b\right]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $g(t)$ 의 도함수 $g'(t)$가 닫힌 구간 $[\alpha,\,\beta]$에서 연속이고 $a=g(\alpha),\,b=g(\beta)$이면

다음 정적분을 구하시오.

$\displaystyle x = a\sin t$로 두고 $t$의 범위는 $-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2$로 두자. 그러면 $x=0$일 때 $t=0$이고, $x=a$일 때 $t=\dfrac{\pi}2$이다. 또한 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\cos t$이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.

참고로, 이 정적분 값은 반지름이 $a$인 사분원의 넓이와 같으므로[6], 이를 4배하면 반지름이 $a$인 원의 넓이가 $\pi a^{2}$이 됨을 알 수 있다.