error function · 誤 差 函 數 오차함수는 특수함수와
초월함수 의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호로는
e r f ( x ) \mathrm{erf}(x) erf ( x ) 를 사용하며, 이는 영문명에서 따왔다.
e r f ( x ) ≡ 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t \displaystyle \mathrm{erf}(x)\equiv\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t erf ( x ) ≡ π 2 ∫ 0 x e − t 2 d t 한편, 정의식 양변을
x x x 에 대해 미분하면
d d x [ π 2 e r f ( x ) ] = e − x 2 \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)\right]=e^{-x^{2}} d x d [ 2 π erf ( x ) ] = e − x 2 가 된다. 따라서 다음을 얻는다.
∫ e − x 2 d x = π 2 e r f ( x ) + C \displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)+C ∫ e − x 2 d x = 2 π erf ( x ) + C 즉, 가우스 함수의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것임을 알 수 있다.
아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erf(x)_그래프.png Complementary error function · 餘 誤 差 函 數 여오차함수는
1 1 1 에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는
e r f c ( x ) \mathrm{erfc}(x) erfc ( x ) 로 쓴다.
e r f c ( x ) ≡ 1 − e r f ( x ) \displaystyle \mathrm{erfc}(x) \equiv 1-\mathrm{erf}(x) erfc ( x ) ≡ 1 − erf ( x ) 식의 형태를 보면 오차함수를
x x x 축에 대칭 이동한 후
y y y 축 방향으로
+ 1 +1 + 1 만큼 이동한 것임을 알 수 있다.
한편,
2 π ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = 1 \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t=1 π 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = 1 임을 이용하면 아래와 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다.
e r f c ( x ) = 2 π ∫ 0 ∞ e − t 2 d t − 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t = 2 π ∫ 0 ∞ e − t 2 d t + 2 π ∫ x 0 e − t 2 d t = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t \displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{0}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} erfc ( x ) = π 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 d t − π 2 ∫ 0 x e − t 2 d t = π 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 d t + π 2 ∫ x 0 e − t 2 d t = π 2 ∫ x ∞ e − t 2 d t 이상에서
e r f c ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t \displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} erfc ( x ) = π 2 ∫ x ∞ e − t 2 d t 임을 얻는다.
아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfc(x)_그래프.png Imaginary error function · 複 素 誤 差 函 數 복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는
e r f i ( x ) \mathrm{erfi}(x) erfi ( x ) 로 쓴다.
e r f i ( x ) ≡ − i e r f ( i x ) = − 2 i π ∫ 0 i x e − t 2 d t \displaystyle \mathrm{erfi}(x) \equiv -i\,\mathrm{erf}(ix)=-\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{ix} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t erfi ( x ) ≡ − i erf ( i x ) = − π 2 i ∫ 0 i x e − t 2 d t 이 때, 적절한 변수 치환을 위해
i v ≡ t iv \equiv t i v ≡ t 라 놓으면 적분은
e r f i ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − ( i v ) 2 d v = 2 π ∫ 0 x e v 2 d v \displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-(iv)^{2}}\,\mathrm{d}v \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{v^{2}}\,\mathrm{d}v\end{aligned} erfi ( x ) = π 2 ∫ 0 x e − ( i v ) 2 d v = π 2 ∫ 0 x e v 2 d v 로 쓸 수 있고,
t t t ,
v v v 는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로 우리는 위 결과를
e r f i ( x ) = 2 π ∫ 0 x e t 2 d t \displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} erfi ( x ) = π 2 ∫ 0 x e t 2 d t 로 쓸 수 있다. 또한, 위 식의 양변을
x x x 에 대해 미분하면
d d x [ π 2 e r f i ( x ) ] = e x 2 ∫ e x 2 d x = π 2 e r f i ( x ) + C \displaystyle \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)\right]&=e^{x^{2}} \\ \int e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)+C \end{aligned} d x d [ 2 π erfi ( x ) ] ∫ e x 2 d x = e x 2 = 2 π erfi ( x ) + C 임을 얻는다.
아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfi(x)_그래프.png _그래프.png){kind=link}
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