합성함수

합성함수에 대해 설명하는 문서.

함수 $h$가 두 함수 $f$와 $g$의 연쇄로 나타내어질 때, $h$를 $f$와 $g$의 합성함수라고 부르고, 대개 $h(x)= g(f(x))$, $h(x)= (g\circ f)(x)$, 혹은 함수 자체를 다룰 때는 $h = g\circ f$라고 쓴다.[1] 계산 과정상 제일 안쪽(오른쪽) 함수부터 계산 과정이 진행된다.

어떤 특정한 함수가 "합성함수다/아니다" 라고 구분하는 것은 수학적으로 아무 의미가 없다.[2] 합성함수를 논의할 때는 '$h$가 $f$와 $g$의 합성이다'와 같이 무엇의 합성인지가 반드시 따라야 한다. 합성함수인지의 여부는 각 함수에 내재하는 고유한 속성이 아니라는 말이다. '합성함수'는 함수들 간의 관계에서 도출되는 개념이다. 이러한 맥락이 없이 각 함수를 합성함수이다/아니다의 절대적인 기준으로 분류할 수 없다.

예를 들어 "함수 $h(x) = e^{\sin x}$는 합성함수다"라는 말이 그 자체로 의미가 없음은 "숫자 12는 더해진 수다"라는 말이 의미가 없다는 것과 유사하다.[3] 숫자 12가 '더해진 수'라는 서술이 의미를 지니려면 증명과정에서의 쓸모에 따라 혹은 관심의 대상에 따라 (예컨대) 다음과 같이 12가 무엇과 무엇을 더한 것인지, 그리고 그러한 표현이 무슨 쓸모가 있는지 밝혀야 한다.

마찬가지로 $h$가 합성함수라는 것이 의미를 가지려면 가령 다음과 같은 맥락이 필요하다.

더군다나 "$h(x)= 2x$는 합성함수가 아니다"는 명백히 틀린 서술이다. $h$는 항등함수 $x\mapsto x$와 2배 함수 $x\mapsto 2x$의 합성함수로 볼 수 있다. 심지어 항등함수 $x\mapsto x$는 그 자신의 합성함수로 볼 수 있다.[4]

함수의 합성은 기본적으로 $f\circ g\ne g\circ f$, 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 수학적인 방법으로 예를 든다면, 다음과 같다.
$f\left(x\right)=2x, g\left(x\right)=x+1$ 일 때
$\left(f \circ g\right)\left(x\right)=2\left(x+1\right)=2x+2, \left(g \circ f\right)\left(x\right)=2x+1$ 이다.
특별한 이유가 없다면 교환법칙은 성립하지 않는 것이 당연하므로 주의하는 것이 좋다. 사실 정식대로라면 $g$의 공역이 $f$의 정의역의 부분집합일 때만 $f \circ g$의 합성을 할 수 있으므로, $f \circ g$가 있어도 $g \circ f$는 존재하지 않는 경우가 더 많다.[5] 함수의 합성에서 유일하게 성립하는 법칙은 거의 결합법칙 $f\circ \left(g\circ h\right)= \left(f\circ g\right)\circ h$ 뿐이라고 보면 무방하다.

함수를 합성하는 연산자 $\circ$가 결합법칙을 만족하므로, 함수를 (적당히) 모은 집합은 훌륭한 군이 된다. 함수의 합성 $\circ$를 이항연산으로, 항등함수 $\mathrm{Id}(x)= x$를 항등원으로, 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$을 역원으로 보면 된다.[6]

동일 함수가 합성됐을 경우 $f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right)$와 같이 지수 꼴로 합성한 횟수를 나타내기도 한다. 단, 삼각함수와 로그함수에는 적용되지 않는다. 예컨대 $\sin^2 x$라 하면 $\sin \left(\sin x\right)$가 아니라 $\left(\sin x\right)\times \left(\sin x\right)$를 나타낸다. 또한 일반적인 함수의 경우에도 저자와 독자의 합의가 없는 경우 $f^2(x)$가 $f(f(x))$처럼 동일한 함수를 합성한 것인지 혹은 $\left[f(x)\right]^2$처럼 함숫값을 제곱한 것인지 혼동을 줄 수 있다.[7]

$f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right) = f\left(x\right)$를 만족하는 함수를 멱등함수(idempotent function)라고 한다. 대표적으로 다음이 있다.