항등함수

identity function · 恒等函數

항등함수란 함수의 한 종류로, 항등적으로 자기 자신과 같은 값을 대응시키는 함수를 의미한다.

항등함수는 정의역 $X$가 주어져 있기만 하면 자연스럽게 정의될 수 있는 함수로, 표기법은 $\text{id}_X$, $i_X$, $I_X$, $\mathbb 1_X$[1], $i$등 다양하다. 정의상, 항등함수와 다른 함수 $f: Y \to X$, $g: X \to Z$를 합성하면, $\text{id}_X \circ f = f$ 및 $g \circ \text{id}_X = g$임을 알 수 있다.

군론에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 항등원으로서의 역할을 한다. 실제로, $\text{id}_X: X \to X$는 함수의 합성을 연산으로 하는 군의 항등원이다. 즉,

이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 $G$의 자기동형사상을 모은 군 $(\mathrm{Aut}(G), \circ)$에서 항등함수 $\text{id}_G$는 항등원이 된다.

정의역 $X$에 위상이 주어져 있다면 항등함수 $\text{id}_X$는 항상 연속함수이고, 미분이 가능할 경우 그 결과는 상수함수가 된다.[2]

항등함수에서 정의역과 공역이 완전히 같은 것이 아닌, 공역이 정의역을 포함하는 형태로 확장시킨 함수이다. 주로 대수적 위상수학에서 변형수축(Deformation retract)를 다룰 때 쌍으로 같이 등장하는 함수이다.

정의역 $X$가 곱셈, 덧셈이 잘 정의되어 있는 환 구조를 가지고 있다면, 항등함수 $\text{id}_X$는 일차함수 중 하나로 생각할 수 있다.