부분적분

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1. 개요2. 유도3. 우선 순위 : LIATE 법칙4. 도표적분법5. 스틸체스 적분 꼴6. 예제7. 고등학교 교과과정에서8. 관련 문서

1. 개요 [편집]

부분적분(Integration by parts)이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다.

미분가능한 연속함수 f(x)f(x), g(x)g(x)에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. f(x)f(x), g(x)g(x)의 도함수도 각각 연속이여야 한다. 자세히 보면 알겠지만 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

2. 유도 [편집]

곱의 미분법에 따라
ddx[f(x)g(x)]=f(x)dg(x)dx+df(x)dxg(x)\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)
양변을 적분해주면,
∫ddx[f(x)g(x)] dx=∫f(x)dg(x)dx dx+∫df(x)dxg(x) dx\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x
그런데, 좌변은
∫ddx[f(x)g(x)] dx=∫d[f(x)g(x)]=f(x)g(x)\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x)
이므로 결국,
f(x)g(x)=∫f(x)dg(x)dx dx+∫df(x)dxg(x) dx\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x
이상에서 이항을 하면, 부분적분 공식이 유도된다. 여기서 df(x)/dx≡f′(x)\mathrm{d}f(x)/\mathrm{d}x \equiv f'(x), dg(x)/dx≡g′(x)\mathrm{d}g(x)/\mathrm{d}x \equiv g'(x)로 썼다.
∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x

3. 우선 순위 : LIATE 법칙 [편집]

4. 도표적분법 [편집]

5. 스틸체스 적분 꼴 [편집]

∫f(x) dg(x)=f(x)g(x)−∫g(x) df(x)∫abf(x) dg(x)=[f(x)g(x)]ab−∫abg(x) df(x)\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned}

미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.[1]

6. 예제 [편집]

7. 고등학교 교과과정에서 [편집]

구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 미적분Ⅱ, 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 미적분에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재[2] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 xln⁡x x \ln x 나 axcos⁡x a x \cos x 꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. 세로셈식은 엄연한 정규 방법인데도 로피탈의 정리가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.[3] 또한 적분파트의 최종보스로 이게 부분적분 써야하나 치환적분 써야하나 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 계산이 더럽고 복잡한 연산법이라고 흔히들 이야기하기도 한다.

8. 관련 문서 [편집]

[1] 다만 미분계수 쪽의 함수가 미분가능하다면 미분한 상태로 적분식에 곱해주어 일반 적분으로 바꿀 수 있다.[2] 수능특강, 수능완성 등[3] 2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 21번 등.

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