세로셈법

수학에서 수식을 세로 방향으로 전개해서 풀이하는 일련의 과정을 말한다. 분야에 따라 다른 이름으로 불리기도 한다. 일반적으로 '세로셈법'이라 하면 나눗셈의 세로셈법을 가리킨다.

공통적으로 복잡한 계산을 빠르게 풀 수 있게 하는 도구라는 특징이 있다.

$\begin{array}{r} \begin{array}{r}\\ 120 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \!\!\!\! \begin{array}{r}3.541\dot6 \\ \begin{array}{|}\hline 425\quad~~\; \end{array} \\ 360\qquad\; \\ \hline 65\;0\quad~~ \\60\;0\quad~~ \\ \hline 5\;00\quad \\4\;80\quad \\ \hline200~~ \\ 120~~ \\ \hline{\color{red}80}0 \\ 720 \\ \hline{\color{red}80} \end{array} \end{array}$
초등학교 수학에서 나눗셈을 이렇게 계산했을 것이다.
위 세로식에서 안쪽의 수는 나눠질 수(피제수)를, 왼쪽에는 나눌 수(제수)를 쓰고 아래로 쭉 계산해서 내려가면서 그 몫을 맨 위에 쓰는 방식이다.[1] 아무리 해도 나누어떨어지지 않을 경우, 숫자가 반복되는 구간을 짚어서 그 끝부분에서 끊은 뒤, 그 숫자 위에 점 혹은 윗줄을 그어주면 된다.

그러나 중학교 수학으로 올라가면 저렇게 계산하는 일이 없는데, 분수(정확히는 유리수)로 퉁쳐버리기(...) 때문이다.

그러다가 다시 고등학교 수학으로 올라가 다항식의 사칙연산을 할 때 세로셈법이 등장한다. 물론 얘는 위와 같이 그냥 상수끼리 나누는 건 아니다. 그러나 그 이후로는 안 등장하나 싶다가 대학 과정에서 시계 산술이 적용되는 유한체의 나눗셈에서 세로셈법이 다시 등장한다. 잊어버릴만 하면 등장하는 세로셈법

Shifting $n$-th root algorithm; 開方法

각종 근호를 산술적으로 계산하는 방법으로 단순히 개법(開法)또는 개방(開方)이라고도 한다. 한자어로 제곱은 평방(平方), 세제곱은 입방(立方)이라고 하며 $n$제곱을 통틀어 방(方)이라고 하기 때문에 방을 푼다(開)는 뜻에서 이런 이름이 붙었다. 특별히 제곱근, 세제곱근의 경우 각각 개평법(開平法), 개립법(開立法)이라고도 불린다.
제곱근을 시행착오법으로 구하다보면 $k$개의 유효숫자를 구하는데 $k$자리수끼리의 곱셈을 여러번 해야 한다. 이는 매우 귀찮은 작업일 뿐더러 손계산으로는 시간이 매우 많이 걸리기 때문에 이를 피하기 위하여 개발된 방식이다. 원리는 이항정리를 이용하는 것으로, 임의의 $n$제곱근에 얼마든지 적용할 수 있다. 그러나 개평법을 제외하고는 어디까지나 컴퓨터를 이용한 알고리즘의 영역이며 $n=3$만 되도 손계산 역시 매우 버거워진다.(후술) 사실상 손계산이 어느 정도 가능한 방법은 개평법이 유일하다고 해도 과언이 아니다.

근본적으로 곱셈 공식

에서 $a^2$을 이항한

를 이용한다. $\sqrt{15.2512}$를 예로, 하나씩 넣어보기가 $(3 + b)^2 \le 15.2512$인 최대의 $b$를 찾는 방법이라면, 개평법은 우선 $a^2 = 9$를 양변에서 빼서

의 꼴로 만들고 $3.1$, $3.2$, …등은 모두 $3 + 0.1x$꼴, 즉 $b = 0.1x$이므로 양변에 $100$을 곱해

로 바꿔준 뒤 $10$미만의 최댓값 $x$를 찾는 것이다.
만약 $x$가 자연수로 딱 떨어지지 않고 소수가 된다면 자연수 $y$, $0<z<10$인 유리수 $z$를 이용하여 $x = y + 0.1z$로 나타낼 수 있으므로

가 되는데 $(3\times20 + y)y$는 자연수이므로 양변에서 빼면

가 되고 $3\times10 + y = a'$라 놓으면 위 부등식은 $(2a' + 0.1z)0.1z \le 625.12 - (3\times20 + y)y$가 되어 맨 처음에 이용했던 $(2a + 0.1x)0.1x \le 6.2512$와 완전히 같은 꼴이 된다.
이 말은 곧 $x$값을 소수 아래 자리까지 정확하게 찾으려고 애쓸 필요가 없으며 적당히 부등식을 만족하는 최대의 자연수를 구한 뒤 부등식의 양변에서 뺀 다음 다시 $100$을 곱하고 부등식을 만족하는 최대의 자연수를 찾고……하는 식으로 반복해나갈 수 있음을 의미한다.
이는 앞의 방법에 비하면 계산량이 차원이 다르다. (실제로 대략 $\mathcal{O}(k^2)$에서 $\mathcal{O}(k)$가 된 것이다.)

방법은 설명했으니 예시로 $\boldsymbol{313.29}$의 제곱근을 구해보자. 개평법을 쓸 때에는 다음과 같이 피개평수에서 빼는 연산을 위한 열과(이하 뺄셈 열), 빼기 위한 수를 계산하기 위한(상술한 $2a+b$를 계산하는) 열(이하 덧셈 열) 2줄을 준비해놓는 것이 좋다. 아래 식에서 왼쪽 단이 덧셈 열이고 오른쪽 단이 뺄셈 열이다.

예시는 딱 유한소수로 끝나는 수를 가져왔지만 이 방법은 제곱근이 무리수가 나와도 원하는 유효숫자까지 계속 구해나갈 수 있다.
앞서 $\sqrt{15.2512}$를 개평법으로 계산해보면

로 무한히 이어져나가는 것을 볼 수 있다. 곱셈·나눗셈의 유효숫자 표기법에 따라 나타내면 근삿값은 약 $3.90528$이 된다.

그냥 계산기를 쓰는 것이 낫다.[5] $n$제곱근부터는 개평법에 비해 계산량이 폭발적으로 늘어나기 때문이다. 당장에 개립법만 보더라도 똑같이 피개립수를 적절하게 $1000^k$으로 나누고 곱하기를 반복하면서 자연수 $a$, $b$에 대해 $(a+0.1b)^3$을 찾아나가는 과정은 똑같은데, 뺄셈 열에서 빼야 하는 수는 $1000\left\{(a+0.1b)^3 - a^3\right\} = 300a^2b + 30ab^2 + b^3 = \mathord{\left(300a^2 + 30ab + b^2\right)}b$가 된다. 덧셈 열로 쓰던 단도 개립법부터는 덧셈 열로서의 의미를 상실하여 사실상 곱셈 열이 되며(아래 예시 참조) 앞서 개평법에선 먼저 구했던 수를 2배하고 $b$를 붙여주고 곱하는 것으로 끝이었다면, 이제는 구해야 하는 수의 지수가 포함된 식에 하나하나 대입하면서 계산해야하는 상황이 된 것이다. 이쯤 되면 최대 결과값을 손으로 계산하는 것보다 계산기를 쓰는 게 차라리 나은 수준이 되는데 요즘 웬만한 공학계산기 및 계산기 어플에서는 $n$제곱근을 지원하기 때문에(……) 개립법부터는 그냥 계산기를 쓰는 게 차라리 낫다.
예시로 $\sqrt[3]3$을 개립법으로 유효숫자 4자리까지 구해보면 다음과 같다. 곱셈 열(왼쪽 단)에서 $f(a,\,x) = 300a^2 + 30ax + x^2$이며 $a$에 들어갈 수는 이전 결과까지 구한 해의 숫자를 나열한 것이다.

따라서 $\sqrt[3]3 \fallingdotseq 1.442$가 된다.이게 뭔 짓이람

부분적분을 연쇄적으로 해야하는 경우, 도표적분법(Tabular Integration, 또는 tic-tac-toe method), 또는 부분적분 세로셈을 통해서 좀 더 빨리 부분적분을 계산할 수 있다. 이 때, 정적분은 부정적분으로 바꾸어서 계산하고 나중에 정적분으로 계산해야 한다. 세로셈은 부분적분을 여러 번 해야 할 때 더욱 빠르다.

부분적분 세로셈은 $f'(x)=c$(상수)가 되면 $f'(x)$가 적분 기호 밖으로 나올 수 있다는 점을 이용한다.[6] 표의 왼쪽 열은 미분하는 열이고, 오른쪽 열은 적분하는 열이다. 위의 우선순위에 의해 미분열 맨 위에 미분하려는 함수($f(x)$)를 적고, 적분열 맨 위에 적분하려는 함수($g'(x)$)를 적는다. 그 후 미분열 아래로 계속 미분을 하고, 적분열 아래로는 계속 적분하여 내려간다. 그러다가 미분열에 적힌 함수가 상수가 되면 맨 왼쪽에 행마다 +, -, +, -를 반복하여 부호를 붙인다. 그 아래로 적분을 한 번 더 하여 하향 대각선 방향으로 함수를 곱한 뒤 그 결과를 더하면 된다.

위 그림처럼 부분적분을 두 번 연속해서 쓸 수도 있다. 마찬가지 방법으로 계속 아래로 내려가면 부분적분을 계속해서 쓸 수 있다.

어떤 함수가 같은 행에 있다는 것은 이 부분적분 중간에 그 함수를 곱해서 적분하는 과정이 들어있다는 뜻이다. 따라서 같은 행에 한해서 왼쪽 열(미분열)과 오른쪽 열(적분열)의 교환법칙이 성립한다. 단, 이 과정을 아래줄에 적을 때 +, - 부호도 같이 유지된다는 점에 유의하자. 사실 상 같은 식을 두 번 적은 셈이니 하향 대각선으로 가는 곱도 함수교환 직전에는 하지 않는다.

같은 행에 있는 함수는 곱하여 적분한 것을 뜻하므로, 하향 대각선으로 가다가 마지막에는 가로 일직선으로 곱해서 적분기호를 붙이면 된다. 이 때 적분기호를 빼먹지 않도록 하자.