역함수

1. 개요2. 성질3. 도출

3.1. 예 13.2. 예 2

4. 역함수의 예5. 역함수의 미분6. 역함수의 적분7. 기타

대표적인 역함수 관계인 $\boldsymbol{a^x}$ 와 $\boldsymbol{\log_a{x}}$

1. 개요 [편집]

inverse function · 逆函數

함수

f:X\to Y

가 전단사(일대일대응)이면 그 역함수

f^{-1} :Y\to X

를 생각할 수 있는데, 이는

Y

의 원소

y

에 대해

f\left(x\right)=y

인 유일하게 존재하는

x

를 대응시키는 것이다. 즉,

f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x

이고, 함수의 정의 때문에 이는

f

가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 조각적 정의나 해석적 확장 [1] 등을 사용해야 한다.

파일:namu_역함수_개념도.png

2. 성질 [편집]

역함수가 존재하는 함수

f: X \to Y

와 그 역함수

f^{-1}: Y\to X

를 고려하자.

본 함수와 역함수의 합성
- $f \circ f^{-1}$ 는 $Y$ 에서의 항등함수이다.
- $f^{-1} \circ f$ 는 $X$ 에서의 항등함수이다.
  - $f$ 의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, $f \circ f^{-1}=f \circ f^{-1}=I$ (단, $I$ 는 항등함수)
역함수의 그래프 $\boldsymbol{y=f^{-1}(x)}$ 의 그래프는 본 함수 $\boldsymbol{y=f(x)}$ 와 $\boldsymbol{y=x}$ 에 대하여 대칭이다.
- 이는 본 함수의 그래프가 $(x,\,f(x))$ 를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 $(f(x),\,x)$ 를 지나기 때문이다.
- 본 함수가 미분 가능한 함수이고 그 도함수의 함숫값이 0인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 특이점이 된다.
연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점
- 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 $y=x$ 위에 있다.[2]
- 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 $y=x$ 위의 교점을 1개 갖는다.

3. 도출 [편집]

역함수는

y=x

에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.

본 함수의 $x$ , $y$ 의 자리를 바꾼다.
1의 식에서 다시 $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

3.1. 예 1 [편집]

y=3x+1

본 함수의 $x$ , $y$ 의 자리를 바꾼다.

$x=3y+1$
1의 식에서 다시 $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

$3y=x-1 \;\to \; \boldsymbol{ y=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3} }$

3.2. 예 2 [편집]

y=e^{x-4}

(단,

e

는 자연로그의 밑)

본 함수의 $x$ , $y$ 의 자리를 바꾼다.

$x=e^{y-4}$
1의 식에서 다시 $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

$\begin{aligned} \ln{x}&=\ln{e^{y-4}} \\ &=y-4 \; \to \; \boldsymbol{y=\ln{x}+4} \end{aligned}$

4. 역함수의 예 [편집]

이차함수 ↔ 무리함수(제곱근함수)
오차함수 ↔ 브링 근호 함수
삼각함수 ↔ 역삼각함수
지수함수 ↔ 로그함수
- $x$ 가 곱해진 지수함수 ↔ 람베르트 $W$ 함수
쌍곡선함수 ↔ 역쌍곡선함수
타원적분 ↔ 타원곡선
구데르만 함수 ↔ 구데르만 역함수
미분 ↔ 부정적분 [3]

5. 역함수의 미분 [편집]

6. 역함수의 적분 [편집]

원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 이차함수의 역함수인 제곱근 함수는 삼각치환을 동원해야 하며, 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트

W

함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 따위로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.

정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.

7. 기타 [편집]

북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.

[1] 가령

\sin

의 역함수인

\arcsin

의 경우

|x|>1

인 실수 영역에서는

\pi\cdot{\rm sgn}(x)/2 \boldsymbol{\,+\,ik}

(단,

k \in {\mathbb R\backslash\{0\}}

)꼴로 함숫값을 표현한다.[2] 반례로, 밑이

e^{1/e}

보다 큰 지수함수와 로그함수는 증가하는 연속함수임에도

y=x

와의 교점이 없다.[3] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(Pullback)이라고 칭한다.