지수함수

지수함수는 지수에 미지수 $x$가 있는 함수, 즉 $f\left(x\right) = a^x (a>0, a \neq 1)$ 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 달리 멱함수(冪函數)라고 하기도 한다. 대략적으로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에[1] 초월함수에 속한다. 대한민국의 수학 교육과정에서는 고등학교 수학Ⅰ(2015개정교육과정)에서 배운다.

지수함수는 지수 법칙을 실수 범위로 확장한 뒤에 배우게 되는데 실수에서의 지수 법칙을 만족하기 위해 밑 $a>0$을 전제로 깔고 간다. 따라서 아래 문단에서 특별한 설명이 없으면, $a>0$을 전제로 한다.[2]

또한 지수함수에서 $a=1$인 경우에는 상수함수가 되기 때문에 지수함수에서 제외한다.

정규분포에서 등장하는 확률 밀도 함수가 일종의 지수함수이며, 삼각함수 또한 지수함수의 변형으로 볼 수도 있다.

정의역에 역수를 취한 지수함수 $\displaystyle y = a^{1 \over x}$의 특징은 다음과 같다.

정의역을 제곱하고 반수를 취한 지수함수 $\displaystyle y = a^{-x^2}$[4]의 특징은 다음과 같다.

한편, 밑과 지수가 같은 특수한 지수함수인 $y = x^{x}$[6]의 특징은 다음과 같다.

위 함수의 변형인 $y = x^{1 \over x}$의 특징은 다음과 같다.

위 함수의 또 다른 변형인 $y = x^{-x}$의 특징은 다음과 같다.

극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, $a>1$이면 x값이 증가할수록 그래프가 하늘을 뚫을 그래프 위로 올라가고, x값이 감소할수록 x축에 점점 가까워진다는 뜻.

$0<a<1$이면 반대로 x값이 증가할수록 그래프가 x축에 점점 가까워지고, x값이 감소할수록 그래프가 위로 올라간다는 뜻.

이때 어느 경우든 함수의 그래프가 x축에 점점 가까워지므로 점근선이 x축이라고 볼 수 있다.

등비수열의 일반항은 $a_n=ar^{n-1}$이므로, 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수로 볼 수 있다. 등비수열 참고.

대학 수준의 해석학이나 복소함수론에서[13] 지수 함수를 정의할 때에는, 밑이 $a$인 지수함수를 먼저 정의하는 게 아니라 먼저 $e$를 밑으로 하는 지수함수 $e^z = \exp{z} \left(z \in \mathbb{C}\right)$[14]를 정의하고 그 다음에 밑이 $e$가 아니라 $a$인 경우를 정의하기도 한다.
$e^z = \exp{z}$을 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots$[15]이라고 정의한 다음, $a^z$을 $a^z = \exp\left(z \cdot \log{a}\right) = e ^ {z \cdot \log{a}}$[16]로 정의하는 식.
또한 해당 정의를 행렬(!!!)에 적용시킨 Exponential Matrix 라는것도 존재한다. 대충 정방행렬 $A$에 대해 $e^A = \exp{A}$를 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A^n}{n!}} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots$ 식으로 정의하는데 마찬가지로 각 성분마다 값이 수렴하므로 존재성이 보장된다. 하지만 보통 계산은 저렇게 이루어지지 않고 적분변환이나 대각화, 삼각화를 이용하여 구하는 것이 일반적이다. 이는 주로 선형 연립미분방정식의 동차해를 구할 때 이용된다.