테트레이션

테트레이션(Tetration)은 특수함수의 하나이다. 큰 수에 대한 연산 중 하나로, 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다.[1] 'Tetration'의 'tetr(a)-'는 4를 의미하는 접두사이다.

일반적으로 부호는 $\uparrow$(커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 $a \uparrow \uparrow b$로 쓰거나[2], $b$를 $a$의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현($^{b}a$의 꼴)[3]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
$a^a = a \uparrow \uparrow 2,$
$a^{a^a} = a \uparrow \uparrow 3,$
$\vdots$
$a^{a^{.^{.^{a^a}}}}$($a$가 $n$개) $= a \uparrow \uparrow n$으로 정의한다.

이를 일반화하여 $n$차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 커누스 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 $a \uparrow \uparrow \uparrow n = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \cdots (a \uparrow \uparrow a) \cdots ))$($a$가 $n$개)로 정의할 수 있다. 그리고 화살표를 줄여서 $a \uparrow \uparrow \uparrow n$을 $a \uparrow ^3 n$으로 줄여 쓸 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) $\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow(\uparrow ^4)$도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) $\uparrow \uparrow ... \uparrow$(↑가 $n-2$개, $\uparrow ^{n-2}$)도 정의 가능하다.

한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 $\{2,4,6,8\} \mapsto 2^{4^{6^{8}}}$같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[4] 페르마 소수가 수열 $\{2,2,n\}$에 대한 테트레이션에 관련된 문제.

자연로그의 밑 $e$ 한정으로 $e \uparrow \uparrow n=\exp^{n-1} e$ 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 $n-1$은 동일 함수를 합성한 횟수.

이외에도 다음과 같은 성질이 있다.

일상 생활에서는 거의 쓰일 일이 없는 연산이지만 (일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않는다, 드물게 거듭제곱의 거듭제곱은 등장한다), 그레이엄 수나 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.

거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.

더 자세한 건 한글 위키백과의 테트레이션 항목 참고.

테트레이션에 대응하는 적분 연산이 아직 없다. 당장 가장 간단한 테트레이션 적분인 $\displaystyle \int x^x \mathrm{d}x$부터 대응 특수함수가 없는 상황이니... 그나마 $[0, 1]$ 구간 한정해서 2학년의 꿈이라는 이상적분이 정의되어 있기는 하다.

파일:테트레이션적분.jpg