연산

수학에서 하나 이상의 피연산자를 연산자의 정의에 따라 계산하여 하나의 결과값을 도출해 내는 과정. 피연산자가 1개일 경우 단항연산, 2개일 경우 이항연산, n개일 경우 n항연산이라고 한다. 단항연산은 함수에 대응되는 개념이며 n항연산은 n개의 정의역으로 1개의 치역을 도출하는 사상에 대응되는 개념이라고 할 수 있다. (a₁, a₂, ... , a_n) → (b)

예를 들면 1 + 2 = 3 에서 1과 2가 피연산자, +가 연산자, 3이 결과값이라고 할 수 있다.

가장 유명한 연산으로 사칙연산을 꼽을 수 있다.

피연산자가 하나인 연산. 절대값 기호 $\left| \cdot \right|$[1]나 최대 정수 함수 $\lfloor \cdot \rfloor$[2], 최소 정수 함수 $\lceil \cdot \rceil$, 그리고 여집합 연산A^c 등이 있다. 복소수에서는 실수부와 허수부를 추출하는 $\Re(z), \Im(z)$[3]가 있다.
지수는 형태상으로 단항연산으로 착각하기 쉽지만 이항영산이다. 밑과 지수 두 피연산자를 받는다.

사칙연산을 비롯하여 거듭제곱(및 거듭제곱근), 테트레이션(tetration)[4] 등이 있다.

정말 특이한 연산[5]을 빼고는 삼항연산부터는 정의할 의미가 없는 게, A + B + C 같은 연산은 일단 A + B 를 구한 뒤 거기다가 + C 를 하면 되기 때문에 결국엔 이항연산으로 환원된다.

예를 들어 연산 ◎에 대해 a ◎ e = a 가 성립할 때, e를 연산 ◎의 항등원이라고 한다. 덧셈의 항등원은 0, 곱셈의 항등원은 1이다.

연산 ◎에 대해 a ◎ x = e 가 성립할 때, x를 연산 ◎에 대한 a의 역원이라고 한다. 덧셈에 대한 a의 역원은 -a, 곱셈에 대한 a(a≠0)의 역원은 1/a이다.

또한, 항등원과 역원의 개수는 달라질수있는데 대표적으로 미분연산자가 있으며, 피연산자에 따라 달라질수도 있다.

연산 ◎에 대해 a ◎ b = b ◎ a가 성립할 때, 연산 ◎는 교환법칙을 만족한다. 연산 ◎에 대해 (a ◎ b ) ◎ c = a ◎ (b ◎ c)가 성립할 때, 연산 ◎는 결합법칙을 만족한다. 덧셈과 곱셈은 복소수 범위에서 교환법칙이 성립하나, 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않다.

a와 b가 연산 ◎이 정의된 집합 A의 부분집합인 B에 속해 있을 때 연산 ◎에 대해 a ◎ b = c 역시 집합 B에 속할 때, 연산 ◎는 집합 B에 대해 닫혀 있다고 표현한다.

해당 항목 참고.