이차함수

quadratic function · 二次函數

이차함수는 최고차항의 차수가 2인 다항함수를 말하며, 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

여기에서 $a$, $b$, $c$, $p$, $q$는 상수이며, $a$는 0이 아니다.

이차함수의 그래프는 포물선이다. 아래의 표는 이차함수의 표준형 및 일반형에 대한 정보를 요약한 것이다.

모든 이차함수는



와 같은 표준형으로 나타낼 수 있고, 이것은 그래프 $y=ax^2$을 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이다. 이에 따라, 일반적인 차원에서 이차함수의 그래프를 논하기 전에 가장 기본적인 $y=ax^2$의 그래프부터 논할 필요가 있다.

$y=ax^2$의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.

파일:나무_원점_이차함수_그래프_수정.png

따라서 표준형 $f(x)=a(x-p)^2+q$의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.

한편, 일반형 $f(x)=ax^2+bx+c$는 표준형으로 나타내면

이며 다음의 성질을 갖는다.

실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 도함수는 $f'(x)=2ax+b$이다. 이때, $f'(x)=0$이 되도록 하는 $x$값을 극값이라 하며, 이차함수는 실수 전체의 집합에 대하여 오직 $\displaystyle x=-{b}/{2a}$만을 극값으로 갖는다. 이는 앞서 설명한 꼭짓점의 $x$좌표이다. 따라서 이차함수의 그래프의 극점은 꼭짓점이다.

이에 따라, 극값 $-{b}/{2a}$를 기준으로 도함수의 함숫값이 양에서 음 혹은 음에서 양으로 바뀐다. 즉, 꼭짓점을 기준으로 함숫값이 증가하다 감소하거나, 감소하다 증가하는 두 가지의 경우가 있다.

이 결과로부터 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수의 최댓값과 최솟값을 알 수 있는데, 이차함수가 아래로 볼록하다면 최솟값은 꼭짓점의 $y$좌표이며 최댓값은 없다. 위로 볼록하다면 최댓값은 꼭짓점의 $y$좌표이며 최솟값은 없다.

그런데 실수 전체의 집합이 아닌 다른 집합에서 정의된 이차함수라면 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수 있다. 다만, 그 구간 내에 꼭짓점이 포함된다면 그래프가 아래로 볼록할 경우 최솟값이, 그래프가 위로 볼록할 경우 최댓값이 꼭짓점의 $y$좌표임은 변치 않는다.

기본적으로 이차함수는 대칭축에 대칭인 함수이기 때문에 이차함수 $f(x)$에 대하여

가 성립한다. 여기서 $k$는 대칭축의 $x$절편이자 꼭짓점의 $x$좌표이다.

파일:나무_이차함수_대칭축.png

위 그림과 같이, 대칭축으로부터 거리가 같은 점들의 $y$좌표는 모두 같으며, 역으로 $y$좌표가 같은 이차함수 위의 두 점 $\rm A$, $\rm B$가 있을 때, 선분 $\overline{\rm AB}$의 중점 $\rm M$은 대칭축 위에 있다. 또한, 대칭축과 이차함수의 그래프의 교점은 꼭짓점이다. 이 성질은 이차함수와 관련한 기하학적 문제를 풀 때 자주 사용한다.

모든 이차함수의 그래프는 평행이동을 통하여 $y=ax^2$의 그래프로 둘 수 있으므로 $y=ax^2$을 고려해 보자. 다음과 같은 $k$배만큼의 닮음 변환을 통해 $y=ax^2$의 위의 점 $(x,\,y) \to (x',\,y')$로 옮겨진다고 하면

따라서 $y=ax^2$을 $k$배 닮음 변환하면 포물선 $y=ax^2/k$으로 옮겨지며, 이에 따라 모든 이차함수의 그래프는 닮음이다.

$y=ax^2$을 닮음변환하여 $y=bx^2$를 얻었다고 하자. 이때, 두 포물선의 닮음비는 다음과 같다.

일반적으로 두 이차함수 $y=ax^2+cx+d$, $y=bx^2+ex+f$의 그래프의 닮음비는 다음과 같다.

이차함수의 $x$절편은 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$로서, 결국 이차방정식 $f(x)=0$의 해이다.

따라서 이차함수 $y=f(x)$에 대하여 실수 범위 내에서

로 인수분해된다면, $x$절편은 $\alpha$, $\beta$이다.

파일:나무_이차함수_판별_그래프1.png


의 형태로 분해된다면, $x$절편은 $\alpha$뿐이다.

파일:나무_이차함수_판별_그래프2.png

$f(x)$가 실수 범위 내로 인수분해되지 않는다면, $x$절편은 존재하지 않는다.

파일:나무_이차함수_판별_그래프3.png

위 성질과 포물선의 볼록 유형(상수 $a$의 부호로 판단)만 파악하면 이차함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

반대로 이 성질을 이용하여 이차함수의 그래프와 $x$축의 교점이 몇 개인지를 알아볼 수 있는데, 이는 앞서 말했듯 이차함수의 그래프의 $x$절편이 곧 해당 함수에 대한 방정식의 해이기 때문이다. 방정식 $f(x)=ax^2+bx+c=0$은 판별식 $D=b^2-4ac$에 대하여 $D>0$이면 두 실근, $D=0$이면 중근, $D<0$이면 두 허근을 갖기 떄문에 이차함수의 그래프와 꼭짓점의 개수가 각 경우에 대하여 2, 1, 0이다.

이미 포물선 문서를 통하여 이차함수 $x^2=4py$는 준선이 $x$축과 평행한 $y=-p$이고, 초점의 좌표가 $(0,\,p)$인 포물선임을 논했다. 따라서 이차함수 $y=ax^2$을 고려한다면, 그 그래프는

인 포물선을 나타낸다. 또한 포물선의 초점을 $\rm F$, 이차함수 위의 임의의 점을 $\rm P$, $\rm P$에서 준선 $l$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 하면 다음이 성립한다.


파일:나무_이차함수_포물선.png

$y=a(x-p)^2+q$의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 $y=ax^2$의 그래프를 아래와 같이

평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프는

인 포물선이 된다.

$y=ax^2+bx+c$의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 $y=ax^2$의 그래프를 아래와 같이

평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 $y=ax^2+bx+c$의 그래프는

인 포물선이 된다.

위 식에 따라 초점과 꼭짓점, 꼭짓점과 준선 간의 거리는 $({4|a|})^{-1}$으로 일정하며, 최고차항의 계수 $a$의 절댓값에 반비례한다. 즉, $|a|$가 커지면 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작아지면 멀어진다.

임의의 점에서 이차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 다음과 같다. 단, 그래프보다 위라는 말은 해당 점의 $y$좌표가, 해당 점의 $x$좌표에서의 이차함수의 함숫값보다 크다는 뜻이다. 반면, 그래프 위라는 말은, 이차함수의 그래프가 해당 점을 지난다는 뜻이다.

파일:namu_이차함수_접선개수.png

이러한 특성 때문에, 이차함수의 그래프의 접선의 방정식은 굳이 미분을 하지 않고서도 구할 수 있다. 이차함수의 그래프 $y=f(x)$와 그 접선 $y=g(x)$는 접점 $(a,\,f(a))$[1]에서만 만나기 때문에, 이차방정식 $|f(x)-g(x)|=0$은 중근 $x=a$를 가지고 판별식은 0이라는 점을 이용하면 미분 없이도 접선의 방정식을 구할 수 있다.

이차함수의 역함수는 하나의 양함수로 표현할 수 없다. 이차함수 자체가 일대일대응이 아니기 때문이다. 따라서 이차함수의 역함수는 대칭축을 기준으로 두 부분으로 나누어지며, 각 부분에 대한 역함수는 무리함수가 된다.

이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 역함수를 구하자. $x$와 $y$의 자리를 바꾸고 표준형으로 바꾼다.

위 식의 $y$를 $x$에 대하여 쓰면,

따라서 각 함수는 무리함수

를 다음과 같이 평행이동하여 얻은 함수이다.

이에 따라 각각의 함수의 그래프의 꼭짓점은

를 공유하게 되며 이는 명백히 이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 꼭짓점 ${\rm P}$의 $y=x$에 대한 대칭점이고, 각 함수의 그래프는 $l':y=-b/2a$에 대칭이며, 이는 본 함수의 대칭축 $l:x=-b/2a$의 $x=y$에 대한 대칭이다.

한편, 무리함수의 특성상 함수의 정의역은

이고, 구하는 역함수는

으로 쓸 수 있다.

아래의 그림은 $a>0$일 때 이 문단의 내용을 요약한 것이다.

파일:namu_2차함수+역함수_NEW.png

한편, 표준형 $f(x)=a(x-p)^2+q$의 경우

이므로 구하는 역함수는 아래와 같다.

이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 도함수는 다음과 같은 일차함수이다.

이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 역도함수는 다음과 같은 삼차함수이다. $\textsf{const.}$는 적분 상수이다.[2]

복소평면에서는 포물선이 아닌 선분이 된다. $b^2 - 4ac \geq 0$일 경우 $\Im(x) = 0$이므로 선분이 실수축 위에 있으며, $b^2 - 4ac < 0$일 경우 선분이 실수축과 수직이다.

변수가 둘 이상인 경우에도 이차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다.

이는 이차함수보다는 이차형식(Quadratic form, 二次形式)이라는 이름으로 많이 불리고, 오른쪽의 행렬과 벡터로 나타낸 표현이 흔히 쓰인다.

$|\boldsymbol{\mathsf{A}} | \neq 0$, 즉 비퇴화(nondegenerate)이면 평행이동으로 $y={{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} x}$의 '기본형'으로 바꾸어 줄 수 있지만, 자주 쓰이는 개념은 아니다.

이차형식이 이차함수와 가장 다른 점은 단순히 볼록하거나 오목한 것뿐만이 아니라, 어디선 볼록하고 어디선 오목한 형태가 임계점에서 나올 수 있다는 것이다. 예를 들어 $y = x_1^2 - x_2^2$ 등의 그래프를 그려보면 안장 같은 모양이 나온다. 선형대수학에서 대칭 행렬을 직교대각화하면 이런 이차형식의 그래프 개형을 완벽히 분류할 수 있다.

곡면의 곡률을 설명할 때는 곡률을 이차형식으로 변환하여 계산한다.

어떤 함수가 이차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 이차함수의 그래프의 거리, 이차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.