접선

tangent line[1] · 接線

곡선 위의 한 점에서 곡선에 접하는 직선을 이르는 말로, 수학에서는 접선을 아래와 같이 정의한다.[2]

즉, 할선의 극한으로 접선을 정의하는 것이다.

벡터도 당연히 접선을 구할 수 있는데, 이를 접다발(tangent bundle)이라고 한다.

접선의 기울기가 가지는 대표적인 의미는 속력이다. 달리는 차에서 속도계를 보면 바늘이 계속 움직이는데 차의 속력이 일종의 시간에 따른 함수라는 것을 알 수 있다. 문제는 접선에서와 마찬가지로 일정한 거리를 갔을 때의 속력은 거리/시간으로 정의할 수 있지만 순간 속력이라는 것은 쉽게 정의할 수 없다는 데에 있다. 감이 딱 오겠지만 접선과 마찬가지 방법으로 해결하면 된다. 어느 한 순간 $t$에서의 속력을 구하고 싶다면 $t$로부터 1초 후까지의 평균 속력, 0.1초 후까지의 평균 속력, 0.01초 후까지의 평균 속력$\cdots$를 쭉 보면서 어느 한 값에 가까워진다 싶으면 그 속도를 순간 속력으로 정의하는 것이다. 이런 걸 수학적으로는 이렇게 표현한다.

$v$는 속력, $x$는 거리, $h$는 몇 초 후까지의 평균 속력이냐라는 의미이다. $h$가 양의 값이면서 $t$에 가까워질 때와 음의 값이면서 $t$에 가까워질 때 둘 다 같은 값으로 수렴한다면 그 값이 바로 속력. 이런 형태는 결국 일반화되어 미분이라는 개념으로 발전하게 된다.

수학자들은 오랜 세월 동안 모든 곡선에 적용되는 접선의 방정식 구하는 법을 알아내고자 하였다. 만약 접선이 곡선에 접하는 점의 좌표가 확실하다면, 접선의 기울기만 알아내면 접선의 방정식을 특정할 수 있기에 결국 접선의 기울기를 구하는 것이 최대 숙제였다. 포물선과 같이 특수하고 한정적인 경우에만 적용되는 방법은 여러 수학자들이 나름대로 고안해 냈지만, 그야말로 모든 접선의 기울기를 구하는 보편적인 방법은 발견하지 못하고 있었다. 1665년 아이작 뉴턴이 유율법이라는 모든 곡선에 적용되는 방법을 세계 최초로 고안하면서 이 문제가 해결되었다. 이후 오귀스탱 루이 코시가 엡실론-델타 논법을 고안하여 유율법의 허점을 보완하였다.

접점을 알고, 접하는 곡선의 방정식을 안다면 접선의 방정식을 구할 수 있다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t,\,f(t))$에서의 접선은 기울기가 $f'(t)$이고 점 $(t,\,f(t))$를 지나므로 방정식은 다음과 같다.

이는 곡선이 양함수로 표현될 때 가능한 방식이고, 원과 같이 본래는 함수가 아닌 것들은 음함수의 미분으로 접선의 기울기를 구해야 한다.

한편, 여러 특수한 경우에서는 다른 방법으로도 접선의 방정식을 구할 수 있다.

접선은 곡선을 스치고 지나가야 하며, 곡선을 가로질러서는 안 된다는 오개념에 빠지는 학생들이 많다. 이 때문에 곡선을 가로지르는 직선이나 직선에 접하는 선은 접선이 아니라고 생각하곤 한다. 이러한 오개념은 접선의 개념을 수학적으로 엄밀히 익히지 못하고 모호한 은유로 익혔기 때문에 발생한다.