사차함수

quartic function · 四次函數

다항함수 중에서 최고차항의 차수가 4인 함수. 따라서 모든 사차함수는 다항함수이다. 미분하면 삼차함수가 되며, 부정적분하면 오차함수(5차함수)[주의]가 된다. 사차함수의 일반형은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

사차함수 $f(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$의 도함수는 다음과 같은 삼차함수이다.

사차함수 $f(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$의 역도함수는 다음과 같은 오차함수[주의]이다.


$\textsf{const.}$는 적분 상수이다.[3]

다만 고등학교 교육과정에서는 5차 이상의 다항함수는 다루지 않으므로, 사차함수의 부정적분이 필요한 문제는 나오지 않는다.

모든 사차함수의 그래프는 일대일대응이 아니므로 원칙적으로 사차함수의 역함수란 존재하지 않는다. 따라서 역함수를 양함수로 표현하기 위해서는 조각적으로 정의하여야 한다.

사차함수의 개형은 크게 20가지가 있다. 서로 상하 대칭과 좌우 대칭이 될 수 있는 개형은 같은 것으로 본다면 근본적으로는 1, 2, (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10)의 총 여섯 가지의 개형이 있는 셈이다. 최고차항의 계수가 양수이면 $+$, 음수이면 $-$를 붙이기로 한다. 이 문서에서 그래프의 개형에 붙인 명칭은 설명의 편의를 위한 지극히 임의적인 것이지 공인되는 명칭이 아님을 일러둔다.

1+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 아래로 볼록하며 좌우 대칭(우함수)이다. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1+ 개형 사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x=a$에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극솟값 $f(a)$만을 갖고 극댓값은 갖지 않는다. 극솟값은 최솟값이다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 삼차함수의 2번 개형과 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수1.png

왼쪽 도함수는 방정식 $f'(x)=0$이 삼중근 $x=a$를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 $x=a$가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 $f(x)=0$이 사중근 $x=a$를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 $x=a$가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 다음과 같다.

먼저 왼쪽 도함수는 삼중근 $x=a$를 가지므로 $f'(x)=k(x-a)^3$ $(k>0)$이다. 이를 부정적분하면 $f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+ \rm C$이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 $\rm C=0$인 경우를 말한다. 그러면 방정식 $\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4=0$은 사중근 $x=a$를 가질 수밖에 없다.

반면, 오른쪽 도함수는 단일근 $x=a$를 가지며 기함수인 삼차함수의 그래프를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 그래프를 갖는다. 기함수는 홀수 차수 항만을 가지므로 임의의 기함수인 삼차함수의 식은 $g(x)=kx^3+lx$ $(k>0, l>0)$[4]로 쓸 수 있다. 이를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 이에 따라 $f'(x)=k(x-a)^3+l(x-a)$이다. 이를 부정적분하면 $f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2+\rm C$이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 $\rm C=0$인 경우를 말한다. 그러면 방정식 $\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2=0$을 얻을 수 있는데, 이는 $(x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0$으로 인수분해된다. 여기에서 $\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}=0$은 $k>0, l>0$이므로 그래프가 $x$축보다 위에 있게 되어 실근을 갖지 않는다. 따라서 방정식 $(x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0$의 근은 중근 $x=a$뿐이다.

1- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록하며 좌우 대칭(우함수)이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1- 개형 사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x=a$에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극댓값 $f(a)$만을 갖고 극솟값은 갖지 않는다. 극댓값은 최댓값이다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형과 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수1-.png

왼쪽 도함수는 방정식 $f'(x)=0$이 삼중근 $x=a$를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 $x=a$가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 $f(x)=0$이 사중근 $x=a$를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 $x=a$가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 바로 위 1+ 개형에서 설명했으므로 생략. 1+ 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 논리는 다 같은 것이다.

2+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭(우함수)이다. 가운데에 극대점이 있으며 극대점의 좌하단과 우하단에 $y$좌표가 서로 같은 극소점이 하나씩 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수2+.png

먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 $x$축과 세 번 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 $x$축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.

미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $\alpha$부터 $\beta$까지 올라가는 정도 $|f(\alpha)-f(\beta)|$가 $\beta$부터 $\gamma$까지 내려가는 정도 $|f(\beta)-f(\gamma)|$와 같다고 할 수 있다. 그러면 2+ 개형이 완성된다.

그러려면 삼차함수의 성질에 따라 $(\beta,0)$이 $f'(x)$의 그래프의 변곡점이어야 한다. 여기에서 $x$축은 변곡점을 지나는 직선이므로, $\alpha, \beta, \gamma$는 등차수열을 이룰 수밖에 없다.

1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $y$값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

2- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭(우함수)이다. 가운데에 극소점이 있으며 극소점의 좌상단과 우상단에 $y$좌표가 서로 같은 극대점이 하나씩 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수2-.png

먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 $x$축과 세 번 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 $x$축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.

미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $\alpha$부터 $\beta$까지 내려가는 정도 $|f(\alpha)-f(\beta)|$가 $\beta$부터 $\gamma$까지 올라가는 정도 $|f(\beta)-f(\gamma)|$와 같다고 할 수 있다. 그러면 2- 개형이 완성된다.

그러러면 삼차함수의 성질에 따라 $(\beta,0)$이 $f'(x)$의 그래프의 변곡점이어야 한다. 여기에서 $x$축은 변곡점을 지나는 직선이므로, $\alpha, \beta, \gamma$는 등차수열을 이룰 수밖에 없다.

1번과 2번 조건만으로는 두 극대점의 $y$값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

3+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 $x$좌표가 극소점 두 개의 $x$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 크다. 오른쪽의 극솟값이 최솟값이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수3+.png

1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $y$값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

3- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점이 극대점 두 개의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 작다. 오른쪽의 극댓값이 최댓값이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수3-.png

미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $\alpha$부터 $\beta$까지 내려가는 정도 $|f(\alpha)-f(\beta)|$가 $\beta$부터 $\gamma$까지 올라가는 정도 $|f(\beta)-f(\gamma)|$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 3- 개형이 완성된다.

1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $y$값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

4+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 $x$좌표가 극소점 두 개의 $x$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 작다. 왼쪽의 극솟값이 최솟값이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수4+.png

미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $\alpha$부터 $\beta$까지 올라가는 정도 $|f(\alpha)-f(\beta)|$가 $\beta$부터 $\gamma$까지 내려가는 정도 $|f(\beta)-f(\gamma)|$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4+ 개형이 완성된다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

4- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점의 $x$좌표가 극대점 두 개의 $x$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 크다. 왼쪽의 극댓값이 최댓값이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수4-.png

미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $\alpha$부터 $\beta$까지 내려가는 정도 $|f(\alpha)-f(\beta)|$가 $\beta$부터 $\gamma$까지 올라가는 정도 $|f(\beta)-f(\gamma)|$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4- 개형이 완성된다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 좌상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수5+.png

위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 좌하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수5-.png

위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

6+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 우상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수6+.png

위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

6- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 우하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:4차함수6-.png

위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

7+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5+ 개형과 비슷하지만 5+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:커여운7+.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

7- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5- 개형과 비슷하지만 5- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0인 점이 1개이다

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여어운7-.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

8+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 6+ 개형과 비슷하지만 6+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운8+.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

8- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 6- 개형과 비슷하지만 6- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운8-.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

9+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운9+.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9+ 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

9- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운9-.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

10+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운10+.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 2번 개형, 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다.

10- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.

파일:귀여운10-.jpg

위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

파일:귀여운abcd.jpg
가장 기본이다. 사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$, $(c,0)$, $(d,0)$에서 $x$축과 만나면 사차방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 네 실근 $x=a, x=b, x=c, x=d$를 가지므로 함수식은 $y=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$이다.

파일:귀여운a제곱bc.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$, $(c,0)$에서 $x$축과 만나되 $x=a$에서 $f(x)$가 $x$축에 접하면 사차방정식 $f(x)=0$이 중근 $x=a$와 단일근 $x=b, x=c$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)^2(x-b)(x-c)$이다.

파일:귀여운ab제곱c.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$, $(c,0)$에서 $x$축과 만나되 $x=b$에서 $f(x)$가 $x$축에 접하면 사차방정식 $f(x)=0$이 중근 $x=b$와 단일근 $x=a, x=c$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)(x-b)^2(x-c)$이다.

파일:귀여운abc제곱.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$, $(c,0)$에서 $x$축과 만나되 $x=c$에서 $f(x)$가 $x$축에 접하면 사차방정식 $f(x)=0$이 중근 $x=c$와 단일근 $x=a, x=b$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2$이다.

파일:귀여운a제곱b제곱.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$에서 $x$축과 만나되 $x=c$에서 $f(x)$가 $x$축에 접하면 사차방정식 $f(x)=0$이 중근 $x=c$와 단일근 $x=a, x=b$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2$이다.

파일:귀여운a세제곱b.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$에서 $x$축과 만나되 둘 중에서 $(a,0)$에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 사차방정식 $f(x)=0$이 삼중근 $x=a$와 단일근 $x=b$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)^3(x-b)$이다.

파일:귀여운ab세제곱.jpg
사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$, $(b,0)$에서 $x$축과 만나되 둘 중에서 $(a,0)$에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 사차방정식 $f(x)=0$이 삼중근 $x=a$와 단일근 $x=b$를 가지므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)^3(x-b)$이다.

파일:귀여운a네제곱.jpg
사차방정식 $f(x)=0$이 삼중근 $x=a$를 가지려면 사차함수 $f(x)$의 그래프가 $x$축 위의 점 $(a,0)$에서만 $x$축과 만나되 $x$축에 접해야 하므로 함수식은 $f(x)=k(x-a)^4$이다.

파일:귀여운ax4bx2c.jpg

$f(x)=ax^4+bx^2+c$는 짝수 차수 항과 상수항만을 가지므로 $y$축에 대하여 좌우 대칭(우함수)이다.

고등학교 수준에서 조악하게 설명하자면, 변곡점은 도함수의 증감 여부가 바뀌는 점이라고 할 수 있다. 좀 더 자세히 말하면 이계도함수의 함숫값이 0이 되면서 그 점과 충분히 가까운 좌우의 점의 $y$좌표의 부호가 반대여야 한다.

삼차함수에도 변곡점이 있지만, 개형에 관계없이 삼차함수의 정가운데에 변곡점이 한 개가 있으므로 간단하다. 사차함수는 변곡점의 개수와 위치를 볼 때 삼차함수에 비해 현저히 복잡하다.

+ 개형만을 설명하고 - 개형에 대한 설명은 생략한다. - 개형은 + 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 어차피 다 같은 것이다.

앞서 살펴 보았듯이 1+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, 변곡점이 존재하지 않는다.

파일:커여운1+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 2+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운2+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 3+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운3+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 4+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운4+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 5+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운5+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 6+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운6+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 7+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운7+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 8+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $x$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $x$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.

파일:귀여운8+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 9+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, 변곡점이 존재하지 않는다.

파일:커여운9+변곡점.jpg

앞서 살펴 보았듯이 10+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, 변곡점이 존재하지 않는다.

파일:귀여운10+변곡점.jpg

복소평면에서는 사각형을 그린다.

어떤 함수가 사차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 사차함수의 그래프의 거리, 사차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.