대각화

1. 개요2. 대각화 가능할 필요충분조건3. 동시적 대각화(simultaneously diagonalization)4. 관련 항목과의 관계

1. 개요 [편집]

A\in M_{n}\left(F\right)

를 행렬 대각화(diagonalization)한다고 함은, 적절한

P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)

와 대각행렬[1]

D\in M_{n}\left(F\right)

를 찾아,

A=PDP^{-1}

로 표현하는 일이다.[2] 이렇게 하면,

A^{k}=PD^{k}P^{-1}

이고,

D^{k}

을 계산하는 것은 아주 쉬우므로,

A^{k}

계산도 아주 쉬워진다.

수학적으로는, 벡터 공간을 분해한다는 점에서 의미가 있다. 이게 무슨 말인지는 대각행렬이 갖는 의미를 생각해보면 알 수 있다. 대각행렬로 벡터를 변환하면 기저벡터가 늘어났다 줄었다 하면서 좌표계가 변하는 것을 알 수 있다. 대각화라는 건 대각화 가능한 행렬에 대해 어떤 기저가 존재해서 그 행렬이 그 기저에 대해 이러한 작용을 한다는 말과 같다.

2. 대각화 가능할 필요충분조건 [편집]

[3]

대각화가 항상 가능한 것은 아니므로, 대각화 가능한 필요충분 조건을 알아야한다.

대각화 가능할 필요충분 조건
$A$ 의 최소 다항식을 $p\in F\left[x\right]$ 라 하자.
$A$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은, 서로 다른 $\lambda_{i}\in F$ 가 존재하여 $p=\prod\left(x-\lambda_{i}\right)$ 인 것이다.

$\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 0 \quad 0\end{array}\right)$ 의 최소 다항식은 $x^{2}$ 이다. 따라서, 대각화할 수 없다.
$\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right)$ 의 최소 다항식은 $x^{2}+1$ 이다. 따라서, 복소수 체 $\mathbb{C}$ 위에서는 대각화 가능하지만, 실수 체 $\mathbb{R}$ 위에서는 대각화 불가능이다.

3. 동시적 대각화(simultaneously diagonalization) [편집]

대각화 가능한 행렬들의 모임

S\subset M_{n}\left(F\right)

을 생각하자.

A,B\in S

는 대각화 가능이기 때문에, 적절한

P_{A},P_{B}\in\text{GL}_{n}\left(F\right)

와 대각행렬

D_{A},D_{B}\in M_{n}\left(F\right)

를 찾아,

A=P_{A}D_{A}P_{A}^{-1}

,

B=P_{B}D_{B}P_{B}^{-1}

로 표현할 수 있다. 그러나,

P_{A}\neq P_{B}

일 수 있다. 그럼

P\in\text{GL}_{n}\left(F\right)

가 존재하여, 임의의

A\in S

에 대해,

A=PDP^{-1}

일 수 있는지 알고 싶다. 이를 동시적 대각화(simultaneously diagonalization)라 한다.

동시적 대각화가 가능할 필요충분 조건은 다음이다.

임의의 $A,B\in S$ 에 대해, $AB=BA$ 이다.

4. 관련 항목과의 관계 [편집]

언급한 것과 같이, 항상 대각화 가능한 것은 아니며 꼭 대각화가 되어야 계산이 편해지는 것도 아니다. 대각화를 못하더라도 충분히 간단하게 행렬을 재구성할 수 있다. 이 목적을 완벽하게 달성한 결과가 조르당 분해이다.
수반 연산자 항목에서는 이를 복소수 위에서 정의한 유니타리 대각화에 대해 다룬다.

[1] 대각선 외의 성분이 모두

0

인 행렬, 대각선의 성분은

0

이어도 좋다. [2] 즉, 상사인 대각행렬을 찾는 일이다. [3] 대각화 가능을 영어로 diagonalizable, 대각화 가능성을 영어로 diagonalizablity라고 한다. 즉 이 항목은 diagonalizablity에 대해 다루고 있다.