점근선

asymptote · 漸近線

점근선이 $\boldsymbol{y=\pm 1}$ 인 $\boldsymbol{y={\mathbf{erf}}(x)}$ 의 그래프

어떠한 곡선에 대하여 곡선 위의 점이 무한히 원점에서 멀어질수록 그 점에서 한 직선과의 거리가 0에 한없이 가까워질 때 [1][2], 점점(漸) 가까워지는(近) 선(線)이라는 뜻에서 그 직선을 점근선(漸近線)이라 한다.

점근선이 생기는 대표적인 함수는 유리함수, 무리함수, 탄젠트함수가 있고, 이차곡선 중에서는 쌍곡선이 대표적이다.

한 곡선

y=f(x)

의 점근선이

mx+n

일 때, 상수

m

,

n

은 아래와 같이 구한다.

\displaystyle \begin{aligned} m&=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \\ n&=\lim_{x \to \pm \infty} \{ f(x)-mx \} \end{aligned}

y = \pi(x)/{\rm li}(x)

의 점근선

y=1

을 다루며, 밀레니엄 문제의 하나인 리만 가설이 여기에 연관되어 있다.

[1] 즉

x \to \pm \infty

일 때

f(x)

가 특정 값에 수렴하거나,

x

의 특정 값에서

f(x)

가

\pm \infty

로 발산할 때[2] 물론 함수가 점근선의 값을 갖지 않아야 하는 법은 없다. 가령 아래의 프레넬 적분 함수는 점근선이

y=\pm 1/2

이지만, 함숫값이

\pm 1/2