조화수열

1. 개요2. 일반항3. 조화중항4. 함수로 해석하기5. 조화수열의 합6. 극한7. 조화급수

1. 개요 [편집]

harmonic sequence(progression) · 調和數列

\{1,\,1/3,\,1/5,\,1/7,\,\cdots\}

처럼 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 조화수열이라고 한다. 다시 말해서, 수열

\{1/a_n\}

이 등차수열이면, 수열

\{a_n\}

은 조화수열이다.

현악기의 현의 길이가 조화수열인

\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\cdots\}

의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.

아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트(등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열) 중에서 해석학의 성격이 가장 강한 수열이다.

2. 일반항 [편집]

등차수열

\{1/{a_n}\}

의 초항이

a

, 공차가

d

이면

\dfrac1{a_n}=a+(n-1)d

이렇게 되는 이유는 수열의 귀납적 정의 참고.

\{1/{a_n}\}

이 등차수열이므로

\{a_n\}

은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.

a_n=\dfrac1{a+(n-1)d}

만약 조화수열의 초항을

a

로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은

1/a

이므로 일반항은 다음과 같다.

\begin{aligned}\dfrac1{a_n}&=\dfrac1a+(n-1)d\\&=\dfrac{1+a(n-1)d}a\\ \\ \therefore a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\end{aligned}

3. 조화중항 [편집]

a

,

b

,

c

가 조화수열의 연속한 세 항일 때,

b

를

a

와

c

의 조화중항 또는 조화평균이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.

b=\dfrac{2ac}{a+c}

이를 증명하여 보자.

a

,

b

,

c

는 조화수열의 연속한 세 항이므로,

1/a

,

1/b

,

1/c

은 등차수열을 이룬다.

\dfrac1b=\cfrac{(1/a)+(1/c)}2=\cfrac{{(a+c)}/{ac}}2=\dfrac{a+c}{2ac} \;\to\; b=\dfrac{2ac}{a+c}

4. 함수로 해석하기 [편집]

조화수열의 일반항은

a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d}

꼴이므로 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다.

ad \neq 0

인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면

\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\\ &=\cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\\ &=\cfrac{1/d}{n-\{1-(1/{ad})\}}\end{aligned}

이므로

n

축을 횡축,

a_n

축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 점근선을 갖는다.

$n=1-\dfrac1{ad}$
$a_n=0$ : 횡축( $n$ 축)과 일치

또한

d>0

이면 우상단과 좌하단에,

d<0

이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.

d=0

인 경우 0으로 나눌 수 없으므로 분모와 분자를

ad

로 나누는 위 조작은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에

d=0

을 대입하면 그대로

a_n=a

의 상수함수가 되므로 그래프가

x

축에 평행한 직선이 된다.

5. 조화수열의 합 [편집]

등차수열이나 등비수열과 달리 조화수열의 합을 구하는 간단한 공식은 없고 보통 아래의 정적분을 이용한다. 항의 개수가 적을 경우 부분분수분해를 해서 통분하는 것이 더 빠르다.

\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t

자세한 내용은 조화수(수학) 문서를 참고하라.

6. 극한 [편집]

조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이므로 조화수열

a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d}

의 극한은

a

의 부호와 관계없이 다음과 같다.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&0\; &(d\neq 0)\\&a\; &(d=0)\end{aligned}\end{cases}

7. 조화급수 [편집]

7.1. 제타 함수, 폴리로그함수 [편집]

조화급수로 유도되는 특수함수들이다. 자세한 내용은 문서 참조.