조화수(harmonic numbers) H n \boldsymbol{H_n} H n 은 자연수
n n n 에 대하여 다음과 같이
조화수열 의 합으로 정의되는 수이다.
H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k \displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k H n = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + n 1 = k = 1 ∑ n k 1 특히,
n → ∞ n\to\infty n → ∞ 일 때에 해당하는 다음
급수 는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다.
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ \displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty k = 1 ∑ ∞ k 1 = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ = ∞ 나아가 비교판정법에 의하여
임의의 조화수열 의 무한급수 ∑ k = 1 ∞ a k = ∑ k = 1 ∞ a 1 + a ( k − 1 ) d \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac a{1+a(k-1)d} k = 1 ∑ ∞ a k = k = 1 ∑ ∞ 1 + a ( k − 1 ) d a 는 항상 발산한다. 이 조화급수를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
lim n → ∞ H n = ζ ( 1 ) = lim n → ∞ ln n + γ \displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n = \zeta(1) = \lim_{n \to \infty} \ln n + \gamma n → ∞ lim H n = ζ ( 1 ) = n → ∞ lim ln n + γ 여기서
ζ ( 1 ) \zeta(1) ζ ( 1 ) 은
제타 함수 이다.
조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
H n = ∑ k = 1 ∞ ( 1 k − 1 k + n ) \displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{\infty} \!\left( \frac1k - \frac1{k+n} \right) H n = k = 1 ∑ ∞ ( k 1 − k + n 1 ) x x x 가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 급수식 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
H x = ∫ 0 1 1 − t x 1 − t d t \displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t H x = ∫ 0 1 1 − t 1 − t x d t 조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다.
x x x 가 자연수
n n n 일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다.
H x + 1 = H x + 1 x + 1 \displaystyle H_{x+1}=H_x+\frac1{x+1} H x + 1 = H x + x + 1 1 조화수에는 다음과 같이 반사 공식이 존재한다.
H 1 − x − H x = π cot ( π x ) − 1 x + 1 1 − x \displaystyle H_{1-x}-H_x=\pi\cot(\pi x)-\frac1x+\frac1{1-x} H 1 − x − H x = π cot ( π x ) − x 1 + 1 − x 1 정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.
∫ 0 1 H x d x = ∬ ( 0 , 1 ) 2 1 − t x 1 − t d t d x = γ ∫ 0 n H x d x = n γ + ln ( n ! ) \displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 H_x \,\mathrm{d}x &= \iint_{(0,\,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x = \gamma \\
\int_0^n H_x \,\mathrm{d}x &= n\gamma + \ln(n!)
\end{aligned} ∫ 0 1 H x d x ∫ 0 n H x d x = ∬ ( 0 , 1 ) 2 1 − t 1 − t x d t d x = γ = nγ + ln ( n !) 여기서
γ \gamma γ 는
오일러-마스케로니 상수 이고
n n n 은 자연수이다.
조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(Generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다.
H n ( m ) = ∑ k = 1 n 1 k m \displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m} H n ( m ) = k = 1 ∑ n k m 1 n n n 을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
lim n → ∞ H n ( m ) = ζ ( m ) \displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n^{(m)} = \zeta(m) n → ∞ lim H n ( m ) = ζ ( m ) 조화수의
생성함수 는 다음과 같이 주어진다. 증명은
생성함수 문서의
해당 부분 에서 볼 수 있다.
∑ n = 1 ∞ H n x n = − ln ( 1 − x ) 1 − x \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln{(1-x)}}{1-x} n = 1 ∑ ∞ H n x n = − 1 − x ln ( 1 − x ) 조화수의
지수 생성함수 는 다음과 같다.
∑ n = 1 ∞ H n x n n ! = − e x ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − x ) k k ! = e x [ E i ( x ) + γ + ln x ] \displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}H_n\frac{x^n}{n!}&=-e^x\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{(-x)^k}{k!} \\&=e^x[\mathrm{Ei}(x)+\gamma+\ln x] \end{aligned} n = 1 ∑ ∞ H n n ! x n = − e x k = 1 ∑ ∞ k 1 k ! ( − x ) k = e x [ Ei ( x ) + γ + ln x ] 여기서
E i ( x ) \mathrm{Ei}(x) Ei ( x ) 는
지수 적분 함수 이다.
일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
∑ n = 1 ∞ H n ( m ) x n = L i m ( x ) 1 − x \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_n^{(m)}x^n=\frac{\mathrm{Li}_m(x)}{1-x} n = 1 ∑ ∞ H n ( m ) x n = 1 − x Li m ( x ) 여기서
L i m ( x ) \mathrm{Li}_m(x) Li m ( x ) 는
폴리로그함수 이다.
실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다.
H 1 / 2 = 2 − 2 ln 2 ≈ 0.6137056389 H 1 / 3 = 3 − π 2 3 − 3 2 ln 3 ≈ 0.4451818849 H 1 / 4 = 4 − π 2 − 3 ln 2 ≈ 0.3497621315 H 1 / 5 = 5 − π 10 25 + 10 5 + 1 2 ln 2 − 5 4 ln 5 + − 1 + 5 4 ln ( − 1 + 5 ) − 1 + 5 4 ln ( 1 + 5 ) ≈ 0.2881757683 H 1 / 6 = 6 − 3 2 π − 2 ln 2 − 3 2 ln 3 ≈ 0.2450881595 \displaystyle \begin{aligned}
H_{1/2}&=2-2\ln{2} \\
&\approx0.6137056389 \\
H_{1/3}&=3-\frac{\pi}{2\sqrt3}-\frac32\ln3 \\
&\approx0.4451818849 \\
H_{1/4}&=4-\frac{\pi}2-3\ln2 \\
&\approx0.3497621315 \\
H_{1/5}&=5-\frac{\pi}{10}\sqrt{25+10\sqrt5}+\frac12\ln2-\frac54\ln5 \\
&\qquad \qquad+\frac{-1+\sqrt5}4\ln{(-1+\sqrt5)}-\frac{1+\sqrt5}4\ln{(1+\sqrt5)} \\
&\approx0.2881757683 \\
H_{1/6}&=6-\frac{\sqrt3}2\pi-2\ln2-\frac32\ln3 \\
&\approx0.2450881595
\end{aligned} H 1/2 H 1/3 H 1/4 H 1/5 H 1/6 = 2 − 2 ln 2 ≈ 0.6137056389 = 3 − 2 3 π − 2 3 ln 3 ≈ 0.4451818849 = 4 − 2 π − 3 ln 2 ≈ 0.3497621315 = 5 − 10 π 25 + 10 5 + 2 1 ln 2 − 4 5 ln 5 + 4 − 1 + 5 ln ( − 1 + 5 ) − 4 1 + 5 ln ( 1 + 5 ) ≈ 0.2881757683 = 6 − 2 3 π − 2 ln 2 − 2 3 ln 3 ≈ 0.2450881595 H 1 / 5 H_{1/5} H 1/5 의 값을 구하는 과정에서는
여기 의 'Example 15'에서 소개하는 공식과
여기 에 나와있는 값들을 사용하였다.
H 1 / 5 H_{1/5} H 1/5 을 제외한 나머지 값들은 정적분식 정의를 사용해서 구할 수 있다.
