유계

실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $X$에 대하여 집합 $X$에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수와 작거나 같은 수가 모두 존재할 때 집합 $X$는 유계이다. 유계인 집합의 대표적인 예시로 구간이 있다. 예를 들어, 열린 구간 $\left(0, 1\right)$에 대하여 $0$과 $1$사이의 모든 수보다 큰 수인 $2$, $0$과 $1$사이의 모든 수보다 작은 수인 $-1$가 각각 존재하므로 열린구간 $\left(0, 1\right)$는 유계인 집합이다.

실수 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $X$에 대해서 $X$에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 $X$의 상계라 한다. 비슷하게 $X$의 하계는 $X$에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 말한다. 예를들어 열린 구간 $\left(0, 1\right)$의 상계는 구간 $\left[1, \infty\right)$의 임의의 원소가 가능하다. 마찬가지로 구간 $\left(-\infty, 0\right]$의 모든 원소는 구간 $\left(0, 1\right)$의 하계가 될 수 있다.

$X$의 원소이면서 $X$의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를들어 1은 닫힌 구간 $\left[0, 1\right]$의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.

상한과 하한은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 $X$의 상한은 $X$의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 $X$의 모든 원소보다 작거나 같은 수 들 가장 큰 수를 말한다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 열린구간에도 존재하며 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 $\left(0, 1\right)$는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 $\left[1, \infty\right)$의 최솟값과 하계 $\left(-\infty, 0\right]$ 최댓값은 각각 $1$과 $0$으로 존재한다.

상한과 하한을 각각 supremum과 infimum이라고 하며 집합 $X$의 상한, 하한을 각각 $\sup X$, $\inf X$로 표기한다.

집합 $X$가 상계(하계)를 가지면 $X$는 위로(아래로)유계(bounded above(below))라고 부르며, $X$가 동시에 위와 아래로 유계인 경우 $X$를 유계인 집합이라고 한다. 유계 개념은 함수, 수열[1], 함수열등에도 적용할 수 있는데, 이를 이용해 실수의 완비성의 한 형식을 나타낼 수 있다.[2] 또한 원점을 중심으로 한 Ball을 이용하여 $\mathbb{R}^n$으로 유계 개념을 확장할 수 있다. 닫힌 구간 내에서 유계인 함수는 균등 연속성, 리만적분 가능성 등의 여러 좋은 성질들을 갖는다.

해석학에서의 유계 개념은 위상수학에서 거리공간까지 확장 가능하다. 즉, 실수에서의 유계개념은 거리공간에서 정의된 유계 개념의 한 특수한 예이다.

거리공간 $(X, d)$에 대해 $X$의 부분집합 $A$가 유계라 함은 $A\subset B_d(x, r)$을 만족하는 점 $x\in X$와 실수 $r>0$이 존재함을 뜻한다. 이 때 점 $x$는 반드시 집합 $A$의 점일 필요가 없음에 주의한다.