도함수표

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t = f(x)$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^af(t)\,\mathrm{d}t = -f(x)$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x)$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^af(t)\,\mathrm{d}t = -(f\circ g)(x)\cdot g'(x)$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x)-(f\circ g)(x)\cdot g'(x)$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^bf(x,\,t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t = f(x,\,h(x))\cdot h'(x) - f(x,\,g(x))\cdot g'(x) + \int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t$

3. 초등함수 [편집]

3.1. 다항함수 [편집]

$(ax^n)'=anx^{n-1}$ (단, $n \neq 0$ 인 상수)
특히, $n=0$ 이면
- $ax^0=a \; \to \; a'=0$ (상수함수)

3.2. 거듭제곱근 함수 [편집]

$(\sqrt[n]{x})' = \dfrac{\sqrt[n]{x}}{nx}$ (단, $n \neq 0$ 인 상수)

3.3. 지수함수 [편집]

$(a^x)'=a^x\cdot {\rm ln}\,a$ (단, $a$ 는 상수)
특별히, $a=$ $e$ 이면
- $(e^x)'=e^x\cdot {\rm ln}\,e=e^x$

3.3.1. 허수지수함수 [편집]

$[ \operatorname{cis}(z) ]' = i \operatorname{cis}(z)$
$[ \overline{\operatorname{cis}}(z) ]' = -i\,\overline{\operatorname{cis}}(z)$

3.4. 삼각함수 [편집]

$({\rm sin}\,x)'={\rm cos}\,x$
$({\rm cos}\,x)'=-{\rm sin}\,x$
$({\rm tan}\,x)'={\rm sec}^2\,x$
$({\rm cot}\,x)'=-{\rm csc^2}\,x$
$({\rm sec}\,x)'={\rm sec}\,x{\rm tan}\,x$
$({\rm csc}\,x)'=-{\rm csc}\,x{\rm cot}\,x$

3.5. 역삼각함수 [편집]

$(\arcsin x)' = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)' = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)' = \dfrac1{1+x^2}$
$(\mathrm{arcsec}\,x)' = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$
$(\mathrm{arccsc}\,x)' = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$
$(\mathrm{arccot}\,x)' = -\dfrac1{1+x^2}$

3.6. 쌍곡선 함수 [편집]

$({\rm sinh}\,x)'={\rm cosh}\,x$
$({\rm cosh}\,x)'={\rm sinh}\,x$
$({\rm tanh}\,x)'={\rm sech}^2\,x$
$({\rm coth}\,x)'=-{\rm csch}^2\,x$
$({\rm sech}\,x)'=-{\rm sech}\,x{\rm tan}\,x$
$({\rm csch}\,x)'=-{\rm csch}\,x{\rm coth}\,x$

3.7. 역쌍곡선 함수 [편집]

$(\mathrm{arsinh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$
$(\mathrm{arcosh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}} \quad (x>1)$
$(\mathrm{artanh}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|<1)$
$(\mathrm{arcoth}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|>1)$
$(\mathrm{arsech}\,x)' = -\dfrac1{x\sqrt{1-x^2}} \quad (0<x<1)$
$(\mathrm{arcsch}\,x)' = -\dfrac1{|x|\sqrt{1+x^2}} \quad (x\ne0)$

3.8. 로그함수 [편집]

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \; (x > 0)$
- $({\rm Log}\,z)' = \dfrac{1}{z} \; (z \neq 0)$
$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a} \; (x > 0)$

4. 특수함수 [편집]

4.1. 오차함수 [편집]

$[{\rm erf}(x) ]' = \dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$
$[{\rm erfc}(x) ]' = -\dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$
$[{\rm erfi}(x) ]' = \dfrac{2e^{x^2}}{\sqrt{\pi}}$

4.2. 지수 적분 함수 [편집]

$[{\rm Ei}(x) ]' = \dfrac{e^x}{x}$

4.3. 로그 적분 함수 [편집]

$[{\rm li}(x) ]' = \dfrac{1}{\ln x}$

4.4. 삼각 적분 함수 [편집]

$[{\rm Si}(x) ]' = \dfrac{\sin x}{x}$
$[{\rm Ci}(x) ]' = \dfrac{\cos x}{x}$

4.5. 쌍곡선 적분 함수 [편집]

$[{\rm Shi}(x) ]' = \dfrac{\sinh x}{x}$
$[{\rm Chi}(x) ]' = \dfrac{\cosh x}{x}$

4.6. 프레넬 적분 함수 [편집]

$[S(x) ]' = \sin{ \left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \; {\sf or} \; \sin x^2}$
$[C(x) ]' = \cos{ \left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \; {\sf or} \; \cos x^2}$

4.7. 구데르만 함수 [편집]

$[{\rm gd}(x) ]' = {\rm sech}\,x$
$[{\rm igd}(x) ]' = \sec x$

4.8. 타원 적분 함수 [편집]

$\displaystyle [K(x,\,k) ]' = \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}\sqrt{1-k^{2}x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1)$
$\displaystyle [E(x,\,k) ]' = \frac{\sqrt{1-k^{2}x^{2} }}{\sqrt{1-x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1)$

4.9. 브링 근호 [편집]

$[\mathrm{BR}(x) ]' = -\dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1}$

4.10. 폴리로그함수 [편집]

$[\mathrm{Li}_s(x) ]' = \dfrac{\mathrm{Li}_{s-1}(x)}{x}$

4.10.1. 제타 함수 [편집]

위 폴리감마함수에서

x=1

로 생각할 수 있다.

$[\zeta(x) ]' = \mathrm{Li}_{s-1}(1)$

4.11. 감마 함수 [편집]

특이하게도 아래와 같이 도함수가 재귀적으로 정의된다.

$[\Gamma(z) ]' = \Gamma(z) \psi^0 (z) = \Gamma(z) [ ({\rm Log} \circ \Gamma)(z) ]'$

4.12. 람베르트 W 함수 [편집]

$W'(x)=\dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)}$

4.13. 부호 함수 ・ 헤비사이드 계단 함수 [편집]

아래 식에서

\delta(x)

는 디랙 델타 함수이다.

$[{\rm sgn}(x) ]' = 2 \delta(x)$
$u'(x)= \delta(x)$

5. 음함수 [편집]

5.1. 원 [편집]

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\;\rightarrow\;\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\dfrac{x-a}{y-b}$ ( $a$ , $b$ , $r$ 은 상수)

5.2. 타원곡선 [편집]

$y^2 = x^3 + ax + b\;\rightarrow\;\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{3x^2 + a}{2y}$ ( $a$ , $b$ 는 상수)

6. 기타 [편집]

$|f(x)|' = ({\rm sgn} \circ f)(x)\,f'(x)$
$(x^x)'=x^x(1+{\rm ln}\,x)$
$y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }$ $\!\!\rightarrow\; \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{y^2}{(x-xy\ln{x})}$
- 복소로그함수: $\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] }$

[1] 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.