다변수함수

multivariate function · 多變數函數

변수가 세 개 이상인 함수.

가장 기본적인 꼴의 함수는 $y=f(x)$ 꼴로서, 변수가 두 개이다. 이런 함수는 변수 $x$와 변수 $y$가 직접적인 영향을 주고받으며, $y$가 종속변수가 되는 가운데 독립변수는 $x$ 단 하나이다. 그런데 함수의 변수가 꼭 두 개여야 할 필요는 없고, 세 개 이상으로 늘어나도 무방하다. 하나의 종속변수를 제외한 나머지 변수가 독립변수가 되므로 이 경우 독립변수가 두 개 이상이 된다.

$z=f(x, y)$ 꼴이 되는 변수가 세 개인 다변수함수는, 좌표평면에 $x$축과 $y$축에 동시에 수직이 되고 원점을 지나는 $z$축을 도입하여 3차원 좌표공간에 그래프로 나타낼 수 있다. 정다포체처럼 차원이 4 이상인 도형은 실재하므로 변수가 4개 이상인 다변수함수는 3차원 좌표공간 축에다가 축을 하나 이상 더해서 그래프로 나타낼 수 있다.
또한, 초기하함수처럼 집합을 변수로 하는 함수는 해당 변수를 좌표축으로 둘 수 없다.

다변수함수는 다변수 실함수와 다변수 복소함수로 나뉜다.

이 문서에서는 편의상 변수가 세 개인 다변수함수로 여러 정보를 설명하며, 임계점, 상대적 극대·극소, 변곡점, 안장점과 같은 개념들은 그 다변수함수를 그래프로 나타낼 수 있음을 전제하며, 따라서 함수의 변수도 세 개임을 전제하는 셈임을 기억하라.

식 $y=f(x)$가 함수가 되려면, $f$의 정의역에 속하는 $x$에 값에 대해 오직 하나의 $y$값이 $f$의 치역에 존재해야 한다.

이와 마찬가지로, 식 $z=f(x,y)$가 함수가 되려면, $f$의 정의역에 속하는 $(x,y)$로 이루어진 순서쌍 각각에 대해 오직 하나의 $z$값만이 $f$의 치역에 존재해야 한다. 이 경우 $x$와 $y$는 독립변수, $z$는 종속변수가 된다. $x$라는 독립변수의 값이 달라지지 않았는데 $z$의 값이 달라졌다고 해서 함수가 아니라고 단정할 수 없다. $y$의 값이 달라졌다면 순서쌍 $(x,y)$가 결국 달라진 것이므로, 함수가 될 수 있다. 함수가 아닌 경우는 $x$와 $y$의 값이 모두 달라지지 않았는데 $z$의 값이 달라질 수 있는 경우이다. 이 경우는 순서쌍 $(x,y)$가 달라지지 않기 때문이다.

partial derivative · 偏導函數

다변수함수 $z=f(x,y)$에서 어느 한 독립변수($x$ 또는 $y$)가 종속변수 $z$에 미치는 영향을 알기 위해서는 다변수함수의 편도함수를 구해야 한다.

$x$에 대한 $z$의 편도함수란, 다른 모든 독립변수는 변화 없이 일정하게 고정한 상태에서 $x$의 변화가 $z$에 끼치는 직접적인 영향, 즉 $x$의 변화에 대한 $z$의 순간변화율을 나타낸다. $f_x$, $z_x$, $f_x(x,y)$, $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial x}$로 표기한다. $y$에 대한 $z$의 편도함수 역시 모든 것이 마찬가지이다. 이를 수학적으로 나타내면

$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta{x}\to 0}\frac{f(x+\Delta{x},y)-f(x,y)}{\Delta{x}}$

$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta{y}\to 0}\frac{f(x,y+\Delta{y})-f(x,y)}{\Delta{x}}$

가 된다.

도함수를 구하는 것을 '미분'이라고 하듯이, 편도함수를 구하는 것은 '편미분'이라고 한다. 편미분 참고.

편도함수로 이뤄진 방정식으로, 이 방정식의 해는 다변수함수가 된다. 자세한 내용은 문서 참조.

二次偏導函數 / quadratic partial derivative

어느 한 독립변수에 대하여 두 번을 편미분하여 나오는 함수. 함수 $z=f(x,y)$에 대해, $x$에 대한 이차편도함수는 $f_{xx}$, $(f_x)_x$, $\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x} \right)$, $\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}$로 표기한다. $y$에 대한 이차편도함수 역시 모든 것이 마찬가지이다. $f_{xx}$는 두 독립변수 $x$와 $y$ 중 $y$가 고정된 상태에서의 $f_x$의 변화율을 나타낸다. 마찬가지로 $f_{yy}$는 두 독립변수 $x$와 $y$ 중 $x$가 고정된 상태에서의 $f_y$의 변화율을 나타낸다.

예를 들어 $f(x,y)=3x^2+4xy+2y^3$을 $x$에 대해 한 번 편미분하면 $f_x=6x+4y$, 두 번 편미분하면 $f_{xx}=6$이다.

cross partial derivative · 交叉偏導函數
mixed partial derivative · 混合偏導函數

원시함수를 하나의 독립변수에 대해 편미분한 후 이를 다시 또 다른 독립변수에 대해 편미분하여 나오는 함수. 함수 $z=f(x,y)$에 대해, 먼저 $x$에 대해 편미분한 후 $y$에 대해 편미분한 교차편도함수는 $f_{xy}$로 쓴다. 마찬가지로, 함수 $z=f(x,y)$에 대해, 먼저 $y$에 대해 편미분한 후 $x$에 대해 편미분한 교차편도함수는 $f_{yx}$로 쓴다. 다시 말해 편미분한 변수의 순서에 맞추어 표기하는 것이다.

교차편도함수는 1차편도함수를 구할 때 고정했던 독립변수[1] 중 어느 하나에 대한 1차편도함수의 변화율을 나타낸다.

한편, 언제 $\boldsymbol{f_{xy}=f_{yx}}$가 성립하는지는 큰 떡밥인데 충분조건은 많은 수학자들이 찾아냈지만 필요충분조건은 아직 요원하다. 일상적 수준에선 이계 편미분이 연속이라는 충분조건 정도에서 넘어간다.

critical point · 臨界點

점 $p$에서 함수가 미분가능하지 않거나, 혹은 그래디언트의 값이 0이 되는 점을 임계점(critical point)이라 부른다.

임계점 $p$의 근방 $U$가 있어 $f(p)$가 $U$ 위에서 $f$의 최대값/최소값이 될 때, $p$를 각각 극대점(local maximum) 및 극소점(local minimum)이라 부른다. 극대점도 극소점도 아닌 임계점을 안장점(saddle point)이라 부른다.

모든 극대점과 극소점은 임계점이 되므로, 미분가능한 함수의 경우 가능한 임계점을 모두 조사해 극소점과 극대점들을 찾아낼 수 있다.

相對的 極大 / relative maximum
어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 값의 곱이 두 교차편도함수의 곱[2]보다 크고 두 2차편도함수의 부호가 모두 음이면, 그 임계점은 상대적 극대가 된다. 곧,

1번 조건은 점 $(a,b)$가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대 혹은 상대적 극소가 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 상대적 극대로 최종적으로 결정되도록 한다.

相對的 極小 / relative minimum
어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 크고 두 2차편도함수의 부호가 모두 양이면, 그 임계점은 상대적 극소가 된다. 곧,

1번 조건은 점 $(a,b)$가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대 혹은 상대적 극소가 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 상대적 극소로 최종적으로 결정되도록 한다.

變曲點 / inflection point
어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 작고 두 2차편도함수의 부호가 서로 같으면, 그 임계점은 변곡점이 된다.
곧,

1번 조건은 점 $(a,b)$가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 변곡점 혹은 안장점이 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 변곡점으로 최종적으로 결정되도록 한다.

鞍裝點, 鞍點 / saddle point
어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 작고 두 2차편도함수의 부호가 서로 다르면, 그 임계점은 안장점(안점)이 된다. 곧,

1번 조건은 점 $(a,b)$가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 변곡점 혹은 안장점이 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 안장점으로 최종적으로 결정되도록 한다.

어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱과 같으면, 어떤 특수한 결론도 내릴 수 없다. 엄밀히 말하면, 상대적 극대도, 상대적 극소도, 변곡점도, 안장점도 아닌 임계점이 된다. 곧,

1번 조건은 점 $(a,b)$가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대도, 상대적 극소도, 변곡점도, 안장점도 아닌 임계점으로 최종적으로 결정되도록 한다.

총정리하여 표로 나타내면 다음과 같다.

함수가 임계점 $p$ 근방에서 이계 미분이 존재할 경우, 헤세 행렬 혹은 헤시안(Hessian matrix/Hessian)은 이계도함수들을 모아놓은 다음의 대칭행렬로 정의된다.

대칭행렬에 대한 스펙트럼 정리에 의해, n변수 다변수함수의 헤세 행렬은 항상 대각화가 가능하며 n개의 고윳값을 갖는다. 이들 고윳값의 부호가 특정 조건을 만족할 경우 임계점의 특성을 다음처럼 판정할 수 있다.

이상의 경우에 해당하지 않으면 이계도함수 판정법을 사용할 수 없다.

고유값이 반정치(semidefinite)인 경우에는 안장점 및 극점이 되는 것이 모두 가능하다. 예로 $f(x,y) = x^2 + ky^4$ 같은 경우 헤세 행렬은 항상 양반정치(positive semidefinite)이지만, 점 $(0,0)$은 $k<0$이면 안장점이 되고, $k \ge 0$이면 극대점이 된다. 다만 양수 고유값이 있으면 적어도 극소점이 될 수는 없다는 것은 증명할 수 있다.

이계도함수 판정법의 증명은 다변수 테일러 정리를 2차항까지 전개하여 진행된다.

만약 $f_{xx} f_{yy} = f_{xy}^2$이면 이계도함수 판정법을 사용할 수 없다.

식 $f_{xx} f_{yy} > f_{xy}^2$은 헤세 행렬의 행렬식이며, 이변수 함수의 경우에는 이 행렬식은 고윳값 $\lambda_1, \lambda_2$의 곱이 된다. 따라서 만약 행렬식이 0보다 작다면 두 고윳값의 부호는 달라진다. 만약 행렬식이 양수이고 $f_{xx}>0$이면, 실베스터 판정법(Sylvester's criterion)에 의해 좌상단 $k \times k$의 주 소행렬식(principal minors)이 모두 0보다 크므로 헤세 행렬이 양정치가 됨을 알 수 있다. 음정치인 경우에는 $-f$에 1번 조건을 적용하면 된다.