주대각합

Trace

1. 개요2. 성질

2.1. 기본적인 성질2.2. 파생되는 성질2.3. 다른 개념들과의 관계

3. 같이 보기

1. 개요 [편집]

정사각행렬(

n\times n

행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬

A

의 주대각합은

\mathrm{tr}(A)

로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.

A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}

이라고 하면,

\mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n}

이다.

A

가

m \times n

행렬이고,

B

는

n\times m

행렬일 때,

\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)

이 때, A, B는 정사각행렬이 아니어도 된다.

이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.

아래 성질들은 모두 determinant 또한 만족하는데, 이는 det의 기본 성질인

\det(AB) = \det(A) \det(B)

[1]에서 비롯된다.

상사인 두 행렬 A, B에 대해 $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$ . det도 마찬가지.
이는 A를 대각화한 행렬 D, 삼각화한 행렬 T에 대해서도 당연히 성립. det도 마찬가지.
따라서 determinant는 고윳값들의 곱이고, trace는 고윳값들의 합이다. D, T의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[2]

위 성질들 때문에 determinant와 관련된 성질이 굉장히 많아진다.

$n\times n$ 행렬 $A$ 의 특성 다항식의 n-1차항 계수는 $- \mathrm{tr}(A)$ 이다.
$\det(xI-A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})$
에서, $\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})$ 가 n-1차 이상일 때만, $\det(xI-A)$ 의 n-1차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 $\sigma(i)=i$ 인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
$\det(e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)}$ . 이때 $\displaystyle e^A= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!} A^i$ 이다. 테일러 급수 참고.
두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 에 대해서 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})$ 가 성립한다.

[1] A, B는 정사각행렬[2] 이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.