초기하함수

1. 개요2. 정의3. 몇 가지 특수한 경우4. 관련 문서

1. 개요 [편집]

초기하함수(Hypergeometric function, 超幾何函數)는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화시키는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.

일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다.

\displaystyle \begin{aligned} {}_pF_q(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q;\,z) & \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a_1^{\bar{n}}a_2^{\bar{n}}\cdots a_p^{\bar{n} }}{b_1^{\bar{n}}b_2^{\bar{n}}\cdots b_q^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!} \end{aligned}

여기에서

\displaystyle a^{\bar{n}}

p, q

는 각각

\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\}

,

\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\}

의 노름이다.[1]

p=2

,

q=1

인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 가우스 초기하함수(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.

\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1(a,\,b;\,c;\,z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n} }}{c^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!} \end{aligned}

$\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z$
- $\displaystyle {}_0F_0(;;z)$ 는 항상 지수함수이다.

$\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a}$
- 특히 $a=1$ 인 경우, $\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n$ 이고, $\left\vert z \right\vert<1$ 일 때 초기값 $1$ , 공비가 $z$ 인 기하급수이다.

$\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z)$

$\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z)$
- $K(z), E(z)$ 는 타원 적분이다.
$\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z}$
- $\mathrm{BR}(z)$ 는 브링 근호(Bring Radical)이다.

[1] 즉, 매개변수로 들어갈 집합 크기에 맞춰서

p, q

를 넣어야 한다.