정다포체

1. 개요2. 볼록 정다포체의 조건3. 관련 문서

1. 개요 [편집]

정다포체(正多胞體)는 기하학에 등장하는 도형의 일종이다.

n차원 유클리드 초공간에서 이루고 있는 서로 합동이고 regular인 (n-1)차원 다포체가 포로 이루어져 있으며, 각각의 (n-3)차원 다포체(이하 peak)에서 만나는 포의 개수가 같은 n차원 다포체를 말한다.[1]

2차원의 경우 정다각형, 3차원의 경우 정다면체, 4차원 이상의 경우 정다포체라고 부른다.

2. 볼록 정다포체의 조건 [편집]

모든 차원의 볼록 정다포체의 경우, 한 ridge에[2] 두 개의 포가 모여야 하며, 하나의 peak에서 만나는 3개 이상의 포들이 이루는 이포각의[3] 합이 360°를 넘지 않아야 한다.

2차원 : 무수히 많은 볼록 정다각형을 만들 수 있다.
3차원 : 5가지의 볼록 정다면체가 존재한다.
- 정삼각형은 한 내각이 60°이고, 60°×6=360°이므로 6개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
  - 정사면체 : 정삼각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×3 = 180°
  - 정팔면체 : 정삼각형 4개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×4 = 240°
  - 정이십면체 : 정삼각형 5개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×5 = 300°
- 정사각형은 한 내각이 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
  - 정육면체 : 정사각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 90°×3 = 270°
- 정오각형은 한 내각이 108°이고, 108°×4=432°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
  - 정십이면체 : 정오각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 108°×3 = 324°
4차원 : 6가지의 볼록 정다포체가 존재한다.
- 정사면체는 한 이면각이 $\cos^{-1}\dfrac{1}{3}$ ≈ 70.53°이고, 70.53°×6 = 423.18°이므로 6개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
  - 정오포체 : 정사면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×3 = 211.59°
  - 정십육포체 : 정사면체 4개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×4 = 282.12°
  - 정육백포체 : 정사면체 5개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×5 = 352.65°
- 정육면체는 한 이면각이 90º이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
  - 정팔포체 : 정육면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 = 90°×3 = 270°
- 정팔면체는 한 이면각이 $\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{3}\right)$ ≈ 109.47°이고, 109.47°×4 = 437.88°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
  - 정이십사포체 : 정팔면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 109.47°×3 = 328.41°
- 정십이면체는 한 이면각이 $\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt5}\right)$ ≈ 116.56°이고, 116.56°×4 = 466.24°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
  - 정백이십포체 : 정십이면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 116.56°×3 = 349.68°
- 정이십면체의 한 이면각은 $\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt5}{3}\right)$ ≈ 138.19º이므로, 138.19°×3 = 414.57°로 360°를 초과한다. 따라서 정이십면체로는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
5차원 이상 : 3가지의 볼록 정다포체가 존재한다.
- 정오포체의 한 이포각은 $\cos^{-1}\dfrac{1}{4}$ ≈ 75.52°이고, 75.52°×5 = 377.6°이므로 5개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정팔포체의 경우 한 이포각은 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 4개가 모이는 허니컴은 {4, 3, 3, 4}으로 역시나 정사각형 테셀레이션이나 정육면체 허니컴처럼 자기쌍대.
- 정십육포체와 정이십사포체의 경우, 한 이포각이 120°이므로 3개가 한 면에 모이면 360°가 되므로 이들로 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없는 대신 정팔포체 4개가 모이는 것처럼 4차원 허니컴이 된다. 슐레플리 기호는 각각 {3, 3, 4, 3}과 {3, 4, 3, 3}.
- 정백이십포체의 한 이포각은 144°, 정육백포체의 이포각은 $\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right)$ ≈ 164.47°이므로 이들로는 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다.
- 6차원 이상의 n-단체의 이포각은 72°를 초과하고 90° 미만이다. 따라서 (n-1)-단체 3개 또는 4개를 모아 n-단체와 n-정축체를 만들 수 있다. n-초입방체의 경우 이포각이 무조건 90°이므로, 3개만 모을 수 있다.(4개가 모이면 무조건 허니컴이 된다). 따라서 5차원과 그 이상의 경우, 다음의 세 정다포체만이 존재한다.
  - n-단체 = n차원 정(n+1)포체
  - n-초입방체 = n차원 정(2n)포체
  - n-정축체 = n차원 정2ⁿ포체

3. 관련 문서 [편집]

[1] 참고로 (n-1)차원 다포체를 영어로 facet이라 하는데, 여기서는 포(胞)로 번역했다. 세포 할 때의 포 자이다.[2] (n-2)차원 다포체를 ridge라고 한다.[3] 내각과 이면각을 임의 차원으로 확장한 것.