순서쌍

ordered pair ・ 順序雙

순서[1]가 있는 두 수를 짝지어 나타낸 것. '순서쌍'의 '쌍(雙)' 자체가 '둘'을 뜻하기 때문이다. 따라서 셋 이상의 수를 짝지은 것은 엄밀히 말해 순서쌍이 아닌데, 넓은 의미에서는 '$n$중 순서쌍'으로 표현하기도 한다.[2] 또한, 순서를 고려하므로, 같은 두 수를 짝지었더라도 순서가 다르면 다른 순서쌍이다.

일반적으로, $(1,\,1)$과 같이 수 사이에 ,(콤마)를 넣고 전체를 괄호로 감싸서 표기하며, $(1,\,1)$은 '일 콤마 일'로 읽는다.

꼭 학문적 내용이 아니더라도 사람들은 일상에서 순서쌍의 개념을 많이 쓴다. 예를 들어 생일은 태어난 월과 태어난 일을 짝지은 순서쌍이며, 초중고 학생의 학번은 학년과 반과 출석 번호를 짝지은 3중 순서쌍이다.

주사위를 두 번 던질 때, 처음에 나오는 눈을 $x$, 다음에 나오는 눈을 $y$라 하면, 나오는 경우의 수는 $(x,y)$라는 순서쌍이며, 다음과 같이 36가지이다.

처음에 1이 나오고 다음에 2가 나오는 경우와, 처음에 2가 나오고 다음에 1이 나오는 경우는 다르다. 곧, 순서쌍 $(1,\,2)$와 $(2,\,1)$은 다르다.

위 예시와 같이 경우의 수를 표기할 때 많이 쓰는데, 특히 두 개의 확률변수가 작용하는 결합확률분포 그리고 결합확률함수에서 많이 쓴다. 우선, 처음에 나오는 눈을 $X$, 다음에 나오는 눈을 $Y$라 하고 위 예시를 결합확률분포로 나타내면 다음과 같다.

따라서 결합확률함수는 $f(x,\,y)=1/36$이며,

이므로 전사건의 확률은 1이다.

좌표계 중 좌표평면의 좌표는 $x$좌표와 $y$좌표를 원소로 하는 순서쌍이며, 3차원 좌표공간의 좌표는 $x$좌표, $y$좌표, $z$좌표를 원소로 하는 순서쌍이다. 특히, 격자점은 원소가 모두 정수인 순서쌍이다.

복소수는 두 개의 성분으로 표현되기 때문에 임의의 복소수 $z$는 아래와 같이 순서쌍에 대응한다. $\Re(z)$, $\Im(z)$는 각각 복소수 $z$의 실수부, 허수부이다.

이를 평면에 나타낸 것이 복소평면으로, 위 순서쌍은 복소평면에서 실수부와 허수부를 좌표로 하는 순서쌍이다.

더 나아가 순서쌍을 정의역으로 하는 함수를 생각할 수 있는데 이를 다변수함수라고 한다. 대표적으로 내적이 있는데, 수의 묶음으로 나타낸 순서쌍을

에 대응시키는 함수이다. $z^{\ast}$는 복소수 $z$의 켤레복소수이다.

이 문서에서 벡터를 꾸러미니 수의 묶음이니 표현했는데, 벡터를 '방향이 있는 수'로 알고 있던 사람에게는 괴리가 생기지만 사실 이게 맞는 말이다. 그렇기 때문에 본문에서처럼 순서쌍으로도 나타낼 수 있다.[3]

다만 선형대수학에서는 벡터 표기에 순서쌍보다는 행렬을 더 많이 사용한다. 더 나아가 힐베르트 공간까지 가면 아예 순서쌍 자체를 생각하기 힘든 수준이다.