삼각함수

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  • 착오 여지가 있어 작성해 둡니다. 이 토론에서 두 가지 합의안이 나왔습니다. [합의안1][합의안2] 토론 제목이 적절하지는 않은데, 사측 문의 결과 권장하지는 않지만 가능은 하다고 합니다.

목차
1. 개요2. 정의
2.1. 좌표와 원으로 정의하기 (해석기하학)2.2. 무한급수로 사인·코사인 정의하기 (해석학)
3. 여러 가지 항등식4. 함수의 주기성 및 그래프
4.1. 결합함수의 주기
5. '삼각방정식'과 '삼각함수부등식' 풀이6. 극한과 미적분
6.1. 특수한 극한값을 갖는 합성함수6.2. 미분법6.3. 적분법
7. 역함수8. 관련 함수9. 복소 및 극형식
9.1. 극좌표9.2. 오일러의 공식 관련9.3. 복소함수에서의 삼각함수의 절댓값
10. 교과에서의 삼각함수11. '삼각함수에 관한 식' 오역 의견12. 참고13. 관련 문서

1. 개요 [편집]

三角函數 / trigonometric function[3]

삼각비에서 쓰이는 정의역을 예각[4]에서 일반각[5]으로 확장시킨 것을 삼각함수라고 한다.
일반각을 정의하는 방법에는 도(°\degree)를 단위로 하는 육십분법과 라디안(rad\rm rad)을 단위로 하는 호도법이 있다.
  • 육십분법(단위 °\degree)은 시초선을 기준(0°0\degree)으로 하여 1회전을 360°360\degree로 정의하는 각이다.
  • 호도법(단위 rad\rm rad)은 부채꼴에서 중심각의 크기와 호의 길이가 반지름에 비례한다는 특징과, '원주가 지름의 π\pi배(=원주가 반지름의 2π2\pi배)'라는 성질을 이용하여 정의되는 각[6]이다. 차원이 존재하지 않는다.[7]
  • 삼각비를 일반화, 즉 넓은 범위로 확장한 함수(충분조건)이기 때문에 그 기호와 기원 역시 삼각비의 기원과 동일한 것으로 알려져 있다.[8]

함수의 기호는 삼각비와 동일한 sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan, csc⁡\csc, sec⁡\sec, cot⁡\cot를 쓴다. 함수의 거듭제곱이 반복합성함수(iterated function)를 의미하는 것으로 재정의[9]되기 이전에, 삼각함수에서는 거듭제곱 표기가 전통적으로 함수값의 거듭제곱을 의미하는 것으로 쓰여왔기 때문에 주의해야 한다.[10]
sin⁡2x=(sin⁡x)2≠(sin⁡∘sin⁡)(x)=sin⁡(sin⁡x)\sin^2x = \left(\sin x\right)^2 \ne \left(\sin \circ \sin \right)\left(x\right) = \sin\left(\sin x\right)

2. 정의 [편집]

2.1. 좌표와 원으로 정의하기 (해석기하학) [편집]

정의를 정확하게 알아야지요
좌표 평면의 원점 O\rm O에 대해 xx축의 양의 방향을 시초선[11]으로 잡는다. 중심이 O\rm O이고 반지름 11인 단위원 C1: x2+y2=1C_1:~x^2+y^2=1 위에 있는 임의의 점을 P(x, y)\mathrm P \left(x,~y\right)라고 하자.

O\rm O를 중심으로 시초선에서 반시계 방향 회전을 각의 양의 방향으로 잡고, 그 각의 크기를 θ\theta라고 하면, 다음과 같이 삼각함수를 점 P(x, y)\mathrm P\left(x,~y\right)의 좌표만으로 정의할 수 있다.
cos⁡θ=xsin⁡θ=ytan⁡θ=yxsec⁡θ=1cos⁡θ=1xcsc⁡θ=1sin⁡θ=1ycot⁡θ=1tan⁡θ=xy\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= x \\ \sin\theta &= y \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} & \begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac1{\cos\theta} = \dfrac1x \\ \csc\theta &= \dfrac1{\sin\theta} = \dfrac1y \\ \cot\theta &= \dfrac1{\tan\theta} = \dfrac xy \end{aligned} \end{array}
그동안 직각삼각형으로만 정의해왔던 것에 익숙한 사람은 위와 같은 정의가 낯설 수 있다. 하지만 잘 생각해보면 θ\theta가 예각일 때, 위의 관계식은 빗변의 길이가 11인 직각삼각형에서 삼각비를 정의했던 것과 완전히 같다는 것을 알 수 있다. 차이점이라면 더 이상 (음수가 될 수 없는)'길이' 개념에서 벗어나 '좌표'를 이용하기 때문에 직각삼각형에 구애받을 필요가 없고, 따라서 θ\theta가 일반각으로 확장된다.

그렇다면 이제 삼각함수를 반지름이 rr인 원으로 일반화할 수 있게 된다.[12] 중심이 O\rm {O}이고 반지름이 r(r>0)r\left(r>0\right)인 원 Cr: x2+y2=r2C_r:~x^2+y^2=r^2 위에 있는 임의의 점의 좌표를 P(x, y)\mathrm P\left (x,~y\right)라고 할 때, 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
cos⁡θ=xrsin⁡θ=yrtan⁡θ=yxsec⁡θ=rxcsc⁡θ=rycot⁡θ=xy\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac xr \\ \sin\theta &= \dfrac yr \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} & \begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac rx \\ \csc\theta &= \dfrac ry \\ \cot\theta &= \dfrac xy \end{aligned} \end{array}

2.2. 무한급수로 사인·코사인 정의하기 (해석학) [편집]


무한급수를 활용하여 삼각함수를 다음과 같이 테일러 급수로도 정의할 수 있다. 이 방법은 해석기하학(평면 좌표)에 의존하지 않으며 복소수나 정사각행렬 등으로도 확장할 수 있다. 이렇게 정의하면 원주율 π\pi는 코사인 함수의 근 중 가장 작은 양수의 2배로 정의된다. 기하학적으로 cos⁡π2=0\cos\dfrac\pi2=0을 반대로 접근하는 것인 셈. 그러면 단위원의 넓이는 π\pi이고 원주는 2π2\pi가 되는데, 당연하겠지만 기존 기하학의 결과와 완전히 일치한다. 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 삼각함수의 미적분에서 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\limits\dfrac{\sin x}x = 1임을 증명하는 과정에서 기하학적인 원넓이의 공식을 이용하기 때문에 순환논리에 빠지지만(아래 특수한 극한값을 갖는 합성함수 항목 참조), 무한급수로 삼각함수를 정의하면 이 순환논리를 피할 수 있다.
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯⋯cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯⋯\begin{aligned} \sin x &= x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\cdots \\ \cos x &= 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\cdots \end{aligned}
【비율 판정법으로 수렴 · 발산 여부 확인하기】
수열 ana_n 을 다음과 같이 가정하자.
an:=xnn!a_n := \dfrac{x^n}{n!}

그러면 이 수열에 관한 sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯⋯=∑k=1∞(−1)k+1a2k−1cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯⋯=∑k=0∞(−1)ka2k\begin{aligned} \displaystyle \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\cdots = \sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k+1}a_{2k-1} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\cdots = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k}\end{aligned}

이를 비율로 나타내었을 때, 각각
sin⁡x→−a2k+1a2k−1cos⁡x→−a2k+2a2k\begin{aligned} \sin x &\to -\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}} \\ \cos x &\to -\dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k}} \end{aligned}

이며, 이것들의 절댓값의 극한을 구한다. 이를 수열 ana_n에 관한 식으로 정리하면 다음과 같다.
−ak+2ak=−xk+2(k+2)!xkk!=−x2(k+1)(k+2)-\dfrac{a_{k+2}}{a_k} = -\dfrac{\dfrac{x^{k+2}}{\left(k+2\right)!}}{\dfrac{x^k}{k!}}=-\dfrac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}

이때 xx가 고정되어있으므로 lim⁡k→∞x2(k+1)(k+2)=0\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{x^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=0이다.
비율판정법의 따름정리에 의하여 위에서 나타낸 식
{sin⁡x=∑k=1∞(−1)k+1a2k−1=∑k=1∞(−1)k+1x2k−1(2n−1)!cos⁡x=∑k=0∞(−1)ka2k=∑k=0∞(−1)kx2k(2n)!\begin{cases}\displaystyle\sin x = \sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k+1}a_{2k-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k+1}x^{2k-1}}{(2n-1)!} \\ \displaystyle \cos x = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^ka_{2k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{(2n)!}\end{cases}
이 성립하며, 어떤 실수 xx값을 대입하더라도 반드시 수렴한다.
또한 이 급수의 수열은 절대 수렴하는 수열이기 때문에 복소수를 대입하더라도 마찬가지로 정의에 따라 절대적으로 수렴함이 확인된다.[13]

3. 여러 가지 항등식 [편집]

주로 cos⁡θ\cos \theta와 sin⁡θ\sin \theta에 관한 공식들이다.[14] ii는 허수단위, ee는 자연로그의 밑이다.
''''''
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1[15]
  • {sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βcos⁡(α±iβ)=cos⁡αcosh⁡β∓isin⁡αsinh⁡β\begin{cases}\begin{aligned} \sin\left(\alpha \pm \beta\right) &= \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left(\alpha \pm \beta\right) &= \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left(\alpha \pm i \beta\right) &= \cos\alpha \cosh\beta \mp i\sin\alpha \sinh\beta \end{aligned}\end{cases} (삼각함수의 덧셈정리)[16]
  • eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta (오일러 공식)
    • eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 (오일러 등식)
    • (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ \left(e^{i\theta}\right)^n = \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta (드 무아브르 공식)
  • {sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2cos⁡α∓β2cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\begin{cases} \begin{aligned} \sin\alpha \pm \sin\beta &= 2\sin\dfrac{\alpha \pm \beta}2 \cos\dfrac{\alpha \mp \beta}2 \\ \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}2 \cos\dfrac{\alpha - \beta}2 \\ \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin\dfrac{\alpha + \beta}2 \sin\dfrac{\alpha - \beta}2 \end{aligned} \end{cases} (삼각함수의 합차공식)
  • {sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2\begin{cases}\begin{aligned} \sin\alpha \cos\beta &= \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right)}2 \\ \cos\alpha \sin\beta &= \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) - \sin\left(\alpha - \beta\right)}2 \\ \cos\alpha \cos\beta &= \dfrac{\cos\left(\alpha - \beta\right) + \cos\left(\alpha + \beta\right)}2 \\ \sin\alpha \sin\beta &= \dfrac{\cos\left(\alpha - \beta\right) - \cos\left(\alpha + \beta\right)}2 \end{aligned}\end{cases} (삼각함수의 합차공식의 역)

4. 함수의 주기성 및 그래프 [편집]

파일:animated-sinewave-f12565eb6d460980214a51b713905917.gif

삼각함수는 모두 주기함수[17]이며, 기본 주기가 π\pi인 tan⁡\tan, cot⁡\cot 함수를 제외하고 모두 기본 주기가 2π2\pi이다.

한편 cos⁡\cos, sec⁡\sec은 yy축에 대칭인 짝함수이고, 나머지 넷은 원점에 대칭인 홀함수이다.

4.1. 결합함수의 주기 [편집]

먼저 1차 결합인 삼각함수가 어떻게 생겼는지 알아보자.
  • f(x)+2sin⁡2x+3sin⁡52x\displaystyle f(x) + 2\sin 2x + 3\sin \frac{5}{2x}
11차 결합함수란 y=a⋅f(x)+b⋅g(x) y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) 를 나타내고
22차 결합함수란 y=a⋅f(x)+b⋅g(x)+c⋅h(x) y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) + c ⋅ h(x) 를 나타낸다.
nn차 결합 함수는 y=k1⋅f1(x)+k2⋅f2(x)+⋅⋅⋅+kn⋅fn(x) y = k_1 ⋅ f_1(x) + k_2 ⋅ f_2(x) + ⋅⋅⋅ + k_n ⋅ f_n(x) 으로 나타낸다.
  • 우선 1차결합인 삼각함수의 주기의 존재 여부를 확인해보자
f(x) f(x) 의 주기 T1 T_1
g(x) g(x) 의 주기 T2 T_2
①
유리수
유리수
②
유리수
무리수
③
무리수
무리수

이 세가지 경우가 존재한다.
① 일때 예시를 통해 주기가 존재하는지 확인해보자.
  • f(x)+2⋅sin⁡πx+3⋅cos⁡52πx+4⋅sin⁡32πx\displaystyle f(x) + 2 ⋅ \sin \pi x + 3 ⋅ \cos \frac{5}{2}\pi x + 4 ⋅ \sin \frac{3}{2}\pi x

5. '삼각방정식'과 '삼각함수부등식' 풀이 [편집]

삼각함수의 그래프를 이용하여 정해진 값에 해당되는 미지수의 값을 구하면 된다. 사인과 코사인이 같이 주어지는 경우 공식을 이용해 한 종류의 삼각함수로 고쳐야 하는데 그게 상당히 복잡하다.

함수의 그래프를 갖고 풀이하는 경우가 더 용이하나, 우변이 특수각으로 주어졌거나 역함수를 이용해 지수방정식과 지수부등식처럼 대수적으로도 충분히 풀이가 가능하다.
예제1
삼각방정식 sin⁡x=12\sin x = \dfrac12을 풀어라. (단, 0<x<2π0<x<2\pi)
(해석학적 풀이) 그래프 y=sin⁡xy=\sin x 와 그래프 y=12y=\dfrac12의 교점을 구한 뒤 xx축에 수선의 발을 내려 좌표의 값을 구하면, x=π6x=\dfrac\pi6 또는 x=5π6x=\dfrac{5\pi}6이다.
(기하적 풀이) 사인은 yy축 좌표를 의미하므로, 단위원을 그린 뒤 y=12y=\dfrac12에 접하는 두 좌표에 해당하는 원주각을 구하면 x=π6x=\dfrac\pi6 또는 x=5π6x=\dfrac{5\pi}6이다.
(대수적 풀이) 특수각의 값을 외웠다면 sin⁡θ=12\sin\theta = \dfrac12에 해당하는 θ\theta 값이 θ=π6\theta=\dfrac\pi6 또는 θ=5π6\theta=\dfrac{5\pi}6라는 것을 알 수 있다. 혹은 역관계인 arcsin⁡\arcsin을 이용해 arcsin⁡12=π6\arcsin \dfrac12 = \dfrac\pi6[18]임을 보일 수 있다.

6. 극한과 미적분 [편집]

6.1. 특수한 극한값을 갖는 합성함수 [편집]

AB‾\overline{\rm AB}와 AC‾\overline{\rm AC}의 길이가 11이고 0<∠A<π20 < \angle\mathrm A < \dfrac\pi2인 삼각형 BAC\rm BAC가 있다.
점 B\rm B, C\rm C 사이에 반지름이 11인 원호를 이어 부채꼴 BAC\rm BAC를 그린다.
또한 점 C\rm C를 지나는 AC‾\overline{\rm AC}의 수선이 반직선 AB→\overrightarrow{\rm AB}와 만나는 점을 P\rm P라고 하자.

그러면 각 도형은 ∠A\angle\rm A를 공유하며, 도형 크기의 대소관계로부터 (삼각형 BAC\rm BAC의 넓이) << (부채꼴 BAC\rm BAC의 넓이) << (삼각형 PAC\rm PAC의 넓이)라는 관계가 성립함을 알 수 있다.

이를 수식으로 나타내면 12sin⁡∠A<12∠A<12tan⁡∠A\dfrac12 \sin\angle\mathrm A < \dfrac12\angle\mathrm A < \dfrac12 \tan\angle\mathrm A이다.
sin⁡∠A>0\sin\angle\rm A>0이므로 모든 변을 12sin⁡∠A\dfrac12 \sin\angle\rm A로 나눈다.

그러면 1<∠Asin⁡∠A<1cos⁡∠A1 < \dfrac{\angle\rm A}{\sin\angle\rm A} < \dfrac1{\cos\angle\rm A}이 된다.
각 변은 모두 양수이므로 역수를 취한 뒤 부등호 방향을 바꿀 수 있다. 따라서 1>sin⁡∠A∠A>cos⁡∠A1 > \dfrac{\sin\angle\rm A}{\angle\rm A} > \cos\angle\rm A

여기서 샌드위치 정리(조임 정리)를 이용해 각 변에 양의 무한소로 가는 우극한을 취해주면 좌우변에서 모두 11이라는 값이 나온다.

따라서 lim⁡∠A→0+sin⁡∠A∠A=1\displaystyle \lim_{\angle\rm A \to 0^+} \frac{\sin\angle\rm A}{\angle\rm A} = 1이다.

한 편, ∠A\angle\rm A를 −θ-\theta로 치환하면 θ\theta는 양의 각이 아닌 음의 각으로서 다룰 수 있게 되고, sin⁡(−θ)−θ=−sin⁡θ−θ=sin⁡θθ\dfrac{\sin\left(-\theta\right)}{-\theta} = \dfrac{-\sin\theta}{-\theta} = \dfrac{\sin\theta}\theta이므로, lim⁡−θ→0+sin⁡(−θ)−θ=lim⁡θ→0−sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{-\theta \to 0^+} \frac{\sin\left(-\theta\right)}{-\theta} = \lim_{\theta \to 0^-} \frac{\sin\theta}\theta = 1이다.

좌극한과 우극한이 동일하므로 극한값이 존재하며, 결론적으로 lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta = 1이 성립한다.

여기서 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}이므로 lim⁡θ→0tan⁡θθ=lim⁡θ→0sin⁡θθ1cos⁡θ=lim⁡θ→0sin⁡θθlim⁡θ→01cos⁡θ=1⋅1=1\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}\theta = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta\frac1{\cos\theta} = \lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}\theta\lim_{\theta\to0}\frac1{\cos\theta} = 1\cdot1 = 1이므로 탄젠트에서도 성립한다.
정리
lim⁡θ→0sin⁡θθ=1lim⁡θ→0tan⁡θθ=1\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}\theta &= 1 \\ \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}\theta &= 1\end{aligned}

현대 수학에서는 '논리의 엄밀성'을 근거로, 위와 같이 넓이를 이용한 증명 방식이 순환 논법이라 주장하기도 한다. 극한을 증명하기 위해 각 도형의 '넓이'를 이용하고 있는데 부채꼴의 넓이를 구하는 과정에서 순환 논법에 빠진다는 것[19]이다. 물론 이는 반지름이 rr인 원의 넓이가 πr2\pi r^2이라는 사실을 자명한 것이라 받아들임으로써 해결이 되지만, 현대 수학에서는 한정된 공리와 정의만을 이용하여 논리적인 연역법에 따라 증명된 것만 이용할 수 있기 때문에 '증명되어야 할 원의 넓이'가 '자연스러운 것'으로 쉽게 받아들여지지 않는다[20]는 것이다.

이를 피하기 위해 나온 것이 바로 무한급수를 이용한 정의이다. 전술한 대로 무한급수를 이용한 정의는 임의의 실수뿐만 아니라 복소수에 대해서도 절대 수렴하므로 극한에서 문제없이 다룰 수 있으며, cos⁡x=0\cos x = 0을 만족하는 최소 양수가 존재하며 그 22배가 π\pi라는 것으로 해결이 된다. 기타 기하학적인 성질 역시 증명이 가능하지만, 무한급수 역시 극한의 개념이 선행되어야 자연스럽기 때문에 여전히 좋은 해결책은 아니다. 어디까지나 현대 수학, 그리고 청소년들에게 이걸 이렇게 치트키를 써서 가르치는 게 적절한지를 고민하는 수학교육학에서의 떡밥이므로 일반인 위키러들은 '그렇게 보는 해석도 있다' 정도의 수준으로 넘어가면 된다.

2015 개정 교육과정 기준으로는 미적분에서 처음 배우기 시작한다. 이 내용을 '삼각함수의 극한'으로 배우지만 실제로는 '삼각함수가 유리함수에 합성된 합성함수의 극한'을 배우는 것이다. 실제로 수업 시간, 교과서에서 y=sin⁡xxy= \dfrac{\sin x}x, y=tan⁡xxy= \dfrac{\tan x}x의 그래프나 성질을 직접적으로 다루지 않기 때문이다. 그래프 개형이 궁금하다면 y=sin⁡xxy= \dfrac{\sin x}x의 그래프와 y=tan⁡xxy= \dfrac{\tan x}x의 그래프를 참조하기 바란다. 전자의 경우 원점으로 올수록 보강 파동의 경향성이 짙어지는 개형을 보이는 데 반해, 후자인 탄젠트 유리함수는 말로 설명하기 힘든 괴이한 문양을 나타낸다. 간혹 y=cos⁡xxy= \dfrac{\cos x}x의 그래프도 궁금해하는 사람도 있는데, 링크에서 확인할 수 있듯이 원점에 대칭인 형태이기 때문에 우극한과 좌극한이 다르게 발산한다. 그래서 별로 의의가 없다. '삼각함수'라는 단원으로부터 분리되어 극한 단원 혹은 미적분 파트에서 다루는 이유도 이 때문이다. 이 내용은 사실 '삼각함수'와 더 밀접하지 않으며, 그래프들을 다루는 것은 교육적으로 별로 의미가 없다. 종전 2009 개정 교육과정 미적분Ⅱ 때처럼 삼각함수와 더 직접적인 관련이 있는 것처럼 보일 것을 우려하고, 다시 현 교육과정처럼 '극한' 단원 편입으로 바꾼 것도 교육적 적합성을 다시 고려했기 때문으로 보인다.

이 내용의 교육적인 의의는 어떤 실수에 대해 그 실수를 취한 삼각함수의 비가 무한히 작아질 때 어떤 값으로 수렴하는지 파악하고 이 때 '사인 법칙'과 '근사'[21]를 익히기 위해서 배우는 것이다. 이 정리는 바로 밑에 있는 삼각함수의 도함수를 증명하는 과정에서 사용된다. 이는 '로그함수의 극한'이라고 배우는 자연로그와도 유사하다.

6.2. 미분법 [편집]

6.3. 적분법 [편집]

7. 역함수 [편집]

8. 관련 함수 [편집]

9. 복소 및 극형식 [편집]

9.1. 극좌표 [편집]

좌표 평면의 원점 O\rm O에 대해 OP‾=r\overline{\rm OP} = r를 만족하는 점 P\rm P를 상정하자. xx축 양의 방향을 기준으로, O\rm O를 중심으로 하여 반시계 방향의 회전을 양의 방향으로 정의하고, 그 각의 크기를 θ\theta라고 할 때 실수 순서쌍 (r, θ)(r,~\theta)를 점 P\rm P의 극좌표(Polar Coordinate)로 정의한다.
같은 점 P\rm P의 직교 좌표를 (x, y)(x,~y)라고 하면 {x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{cases}\begin{aligned}x &= r\cos\theta \\ y &= r\sin\theta\end{aligned}\end{cases}이다. 원점의 극좌표는 (0, θ)(0,~\theta)로 나타낸다.

극좌표에 차원 하나를 더해서 zz축 방향으로 잡아 늘리면 원통 좌표계(Cylindrical Coordinate)가 된다. 즉 (x, y, z)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ, z)⇔(r, θ, z)(x,~y,~z) = (r\cos\theta,~r\sin\theta,~z) \Leftrightarrow (r,~\theta,~z).
한편, 공간 좌표의 점 P(x, y, z)\mathrm P \left(x,~y,~z\right)에 대해 zz축 양의 방향을 기준으로, O\rm O를 중심으로 하여 xyxy평면 방향의 회전을 양의 방향으로 잡고, 그 각의 크기를 φ\varphi라고 하면 0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi이므로 구좌표계(Spherical Coordinate)를 {x=rsin⁡φcos⁡θy=rsin⁡φsin⁡θz=rcos⁡φ\begin{cases}\begin{aligned}x &= r\sin\varphi\cos\theta \\ y &= r\sin\varphi\sin\theta \\ z &= r\cos\varphi \end{aligned}\end{cases}와 같이 정의할 수 있다.

수직으로 보기 좋게 떨어지는 직교 좌표를 굳이 극좌표나 구좌표 같은 또다른 좌표계로 바꾸는 이유는 회전 운동이나 모든 방향으로 대칭적인 움직임/변화 등을 기술할 때, 직교 좌표를 쓰면 조금만 복잡해져도 기술하기가 어렵기 때문이다. 예를 든다면 지구 표면 근처에서의 위치를 직교 좌표 3개로 쓰는 것보다는 위도, 경도, 고도로 표현하는 것이 편리하다.

9.2. 오일러의 공식 관련 [편집]

허수단위를 ii로 나타내면 오일러의 공식에 의해 eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x이므로
cos⁡x=eix+e−ix2sin⁡x=eix−e−ix2i=−ieix−e−ix2\begin{aligned} \cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ &= -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2\end{aligned}
로 지수함수에 대한 식이 유도된다. 그런데 위 식은 쌍곡선 함수의 식
cosh⁡t=et+e−t2sinh⁡t=et−e−t2\begin{aligned} \cosh t &= \dfrac{e^t+e^{-t}}2 \\ \sinh t &= \dfrac{e^t-e^{-t}}2\end{aligned}
에서 t=ixt=ix인 경우로 볼 수 있다. 즉
cos⁡x=cosh⁡ixsin⁡x=−isinh⁡ix⇕cosh⁡x=cos⁡ixsinh⁡x=−isin⁡ix\begin{aligned} \cos x &= \cosh ix \\ \sin x &= -i\sinh ix \\ &\Updownarrow \\ \cosh x &= \cos ix \\ \sinh x &= -i\sin ix\end{aligned}
이며 삼각함수와 쌍곡선 함수는 복소수를 매개로 연관되어 있음을 알 수 있다.
sin⁡x=−isinh⁡ixcos⁡x=cosh⁡ixtan⁡x=−itanh⁡ixcsc⁡x=i csch ixsec⁡x=sech ixcot⁡x=icoth⁡ix\begin{array}{cc}\begin{aligned}\sin x &= -i\sinh ix \\ \cos x &= \cosh ix \\ \tan x &= -i\tanh ix\end{aligned} & \begin{aligned}\csc x &= i\,\mathrm{csch}\,ix \\ \sec x &= \mathrm{sech}\,ix \\ \cot x &= i\coth ix\end{aligned}\end{array}

9.3. 복소함수에서의 삼각함수의 절댓값 [편집]

z=x+iyz=x+iy일 때,
sin⁡z=sin⁡(x+iy)=sin⁡xcos⁡iy+cos⁡xsin⁡iy=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡ycos⁡z=cos⁡(x+iy)=cos⁡xcos⁡iy−sin⁡xsin⁡iy=cos⁡xcosh⁡y−isin⁡xsinh⁡y\begin{aligned} \sin z &= \sin\left(x+iy\right) = \sin x\cos iy + \cos x\sin iy \\ &= \sin x\cosh y+i \cos x\sinh y \\ \cos z &= \cos\left(x+iy\right) = \cos x\cos iy-\sin x\sin iy \\ &= \cos x\cosh y-i \sin x\sinh y\end{aligned}
이 성질을 이용하여 삼각함수의 복소평면에서의 절댓값을 구해보자. 물론 R⊂C\mathbb R \subset \mathbb C이므로, 실수일 때도 구할 의미는 없지만성립한다. 참고로 tan⁡z\tan z의 절댓값은 이렇게 구한 sin⁡z\sin z, cos⁡z\cos z의 절댓값으로 구하는 게 빠르다.[22]
''''''
  • ∣sin⁡z∣=sin⁡2xcosh⁡2y+cos⁡2xsinh⁡2y\left|\sin z\right|=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y}
  • ∣cos⁡z∣=cos⁡2xcosh⁡2y+sin⁡2xsinh⁡2y\left|\cos z\right|=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y}
여기서, cosh⁡2y−sinh⁡2y=1\cosh^{2} y-\sinh^{2} y=1를 이용해서 식을 정리하자.
  • ∣sin⁡z∣=sin⁡2xcosh⁡2y+cos⁡2xsinh⁡2y=sin⁡2x+sin⁡2xsinh⁡2y+cos⁡2xsinh⁡2y=sin⁡2x+sinh⁡2y\left|\sin z\right|=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y}=\sqrt{\sin^2x+\sin^2x\sinh^2y+\cos^2x\sinh^2y}=\sqrt{\sin^2x+\sinh^2y}
  • ∣cos⁡z∣=cos⁡2xcosh⁡2y+sin⁡2xsinh⁡2y=cos⁡2x+cos⁡2xsinh⁡2y+sin⁡2xsinh⁡2y=cos⁡2x+sinh⁡2y\left|\cos z\right|=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y}=\sqrt{\cos^2x+\cos^2x\sinh^2y+\sin^2x\sinh^2y}=\sqrt{\cos^2x+\sinh^2y}

10. 교과에서의 삼각함수 [편집]

11. '삼각함수에 관한 식' 오역 의견 [편집]

원서나 교과서 등에서는 사인 함수를 sin⁡θ\sin\theta로 서술하는 경우가 있다. 하지만 sin⁡θ\sin\theta는 함숫값을 나타내는 식이며, θ\theta가 변수로 쓰이지 않는 이상 '함수' 자체가 아니라는 점에서 다소 엄밀함이 떨어진다. 반례로 log⁡k\log k의 경우, 그 자체가 로그함수가 아닌 로그라고 불린다. 그 외의 다른 함수를 설명할 때도 함수와 함숫값을 엄연히 구별하는데, 삼각함수에서는 잘 지키지 않는 점이 특이하다.

영어(원문)의 경우, 삼각함수를 뜻하는 trigonometric function에서 'trigonometric'가 '삼각법의'를 뜻하는 형용사이다.[25] 언어적 구조만 보더라도 trigonometric은 수식언임이 자명하며, 이 구조를 그대로 한국어로 직역했을 때 '함수'라는 단어를 수식하는 건 '삼각법의'라는 걸 알 수 있다.

대한수학회에서의 trigonometric equations(직역: 삼각법의 방정식)의 정식 한국어 용어인 '삼각방정식'의 사례처럼 '삼각법의 식'에서 '-법의'를 생략하여 ‘삼각식’으로 번역할 수도 있었는데 그러지 못하였다. 그렇다고 '삼각함수의 식'으로 번역하자니 원문의 수식언 trigonometric는 '삼각함수의'가 아니기 때문에 그럴 수 없다.

12. 참고 [편집]

삼각함수의 노래#, 미분까지 나온 증가버전이 존재.

13. 관련 문서 [편집]

[합의안1] 무한급수(테일러 급수)로 사인과 코사인으로 나타내는 것을 '정의'로 인정하되 해석기하학적인 정의(평면좌표와 원의 방정식을 이용한 정의)보다 앞서 서술하지 않을 것[합의안2] 삼각방정식이라는 표현을 유지하되 삼각부등식은 삼각함수부등식으로 바꿀 것[3] 다른 이름으로 angle function(각 함수), circular function(원 함수), goniometric function(각도 함수) 등이 있다.[4] 0°0\degree에서 90°90\degree사이의 각[5] 기존의 예각은 물론 예각이 아닌 각까지 포함하는 더 넓은 개념[6] 파일:external/upload.wikimedia.org/400px-Angle_radian.svg.png
파일:radians.png
π rad=180°\pi\,\rm rad = 180 \degree이다.[7] 보통 단위가 존재하지 않는다고 잘못 알려져 있다.[8] 흔히 삼각함수와 동일한 것으로 착각하지만 삼각비에서는 0°0 \degree와 90°90 \degree에서 값이 정의되지 않는다. 단, 극한값은 존재한다.[9] 즉, 일반적으론 f2(x)=(f∘f)(x)=f(f(x))f^2\left(x\right) = \left(f \circ f\right)\left(x\right) = f\left(f\left(x\right)\right)이고 f2(x)≠{f(x)}2f^2\left(x\right) \ne \left\{f\left(x\right)\right\}^2이다.[10] 단, 지수 −1-1의 경우는 예외인데, sin⁡−1x\sin^{-1}x는 1sin⁡x\dfrac1{\sin x}이 아니다. 이유는 이곳 참조. 그래서 역수인 경우는 위에도 나와 있듯이 고유의 함수 표기(1sin⁡θ=csc⁡θ\left(\dfrac1{\sin\theta}=\csc\theta\right., 1cos⁡θ=sec⁡θ\dfrac1{\cos\theta}=\sec\theta, 1tan⁡θ=cot⁡θ)\left.\dfrac1{\tan\theta}=\cot\theta\right)가 별도로 존재한다. 사족으로 로그함수 역시 이런 꼴의 지수 표기를 쓴다. ln⁡2x=(ln⁡x)2≠(ln⁡∘ln⁡)(x)=ln⁡(ln⁡x)\ln^2 x = \left(\ln x\right)^2 \ne \left(\ln \circ \ln\right)\left(x\right) = \ln\left(\ln x\right) [11] 사실 시초선은 시점이 O\rm O인 반직선일 뿐이며 위치는 어떻게 잡아도 상관이 없다. 굳이 xx축 양의 방향으로 잡은 이유는 xyxy좌표 평면과 극좌표계간의 변수 변환이 편리하기 때문이다.[12] 대한민국 고등학교 과정에서는 이와 같이 일반적인 원으로 삼각함수를 정의한다. 사인, 코사인, 탄젠트는 2015 개정 교육과정 기준으로는 고등학교 수학Ⅰ 과정에 있으며, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 고등학교 미적분 과정에 있다.[13] 절대수렴하는 수열합에 한해서는 수열의 배치를 바꾸더라도 수열합은 변하지 않는다. 이를 이용하여 복소수의 거듭제곱의 실수부와 허수부의 위치를 재조정해서 실수부와 허수부가 한 값으로 수렴함을 보일 수 있다. 다만 이는 절대수렴하지 않는 수열합에 대해서는 성립하지 않는 성질이다. 예를 들어서 an=(−1)nna_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}n이라고 하면, 이 수열은 수렴하지만 절대수렴하지 않는데, 이 경우 ∑k=1∞an\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_n의 순서를 재조정하면 원래 값의 2배, 3배 이상을 만드는 것도 가능하다. 하지만 절대수렴하는 수열인 bn=2−nb_n=2^{-n}의 경우, 이 수열은 순서를 어떻게 재조정하더라도 ∑k=1∞bn=1\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_n=1이 보장된다.[14] 아마 학창시절에 학원이나 학교에서 '사코코사'등의 명칭으로 외운 사람들이 많을 것이다. 신코코신이라고 하는 경우도 있다. 그리고 대학에서 오일러 공식으로 한방에 유도하는 걸 보고 허탈해한다.[15] 증명은 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의로부터 바로. 무한급수를 이용하여 삼각함수를 정의한다면 삼각함수의 미분법을 먼저 증명한 후 이 식의 도함수가 0이므로 상수함수이고, 그 상수가 1이라는 식으로 증명한다.[16] 삼각함수의 합차 공식을 포함한 여러 공식이 이로부터 유도되기에, 공식들을 외우려고 한다면 적어도 이것만은 기억하자.[17] 임의의 실수 범위의 함수 ff에 대하여 적당한 상수 k≠0k\ne 0을 잡을 때, ff의 정의역에 속하는 임의의 xx에 대하여 f(x+k)=f(x)f\left(x+k\right)=f\left(x\right)가 성립하면, ff를 주기함수라 하고, kk를 ff의 주기라 한다. 주기 중 양의 최솟값을 기본 주기라고 한다.[18] 역함수를 이용할 경우 역함수의 존재 조건에 의해 해가 유일한 것에 주의.[19] 넓이를 엄밀하게 다루려면 적분이 선행되어야 하고, 적분을 다루기 위해서는 미분이 선행되어야 하는데, 미분을 다루려면 극한이 선행되어야 한다. 극한을 다루고 있는데 극한이 정립이 되어야 하는 결론에 다다르므로 순환 논법이다.[20] 기하학적으로 극한의 개념을 쓰지 않고 원의 넓이가 πr2\pi r^2이라는 것을 증명하기가 대단히 어렵다.[21] 샌드위치 정리 또는 조임 정리(Squeeze theorem)[22] 무슨 소리인지 모르겠다면
tan⁡z=tan⁡(x+iy)=tan⁡x+tan⁡iy1−tan⁡xtan⁡iy=tan⁡x+itanh⁡y1−itan⁡xtanh⁡y=(tan⁡x+itanh⁡y)(1+itan⁡xtanh⁡y)1+tan⁡2xtanh⁡2y=tan⁡x(1−tanh⁡2y)+itanh⁡y(1+tan⁡2x)1+tan⁡2xtanh⁡2y=sech2 ytan⁡x+itanh⁡ysec⁡2x1+tan⁡2xtanh⁡2y\tan z=\tan\left(x+iy\right) = \dfrac{\tan x + \tan iy}{1 - \tan x\tan iy} \\ =\dfrac{\tan x+i \tanh y}{1-i \tan x\tanh y} \\ =\dfrac{\left(\tan x+i\tanh y\right)\left(1+i\tan x\tanh y\right)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ =\dfrac{\tan x\left(1-\tanh^2y\right)+i\tanh y\left(1+\tan^2x\right)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ =\dfrac{\mathrm{sech}^2\,y\tan x+i\tanh y\sec^2x}{1+\tan^2x\tanh^2y}를 이용해서 구해보자. 눈 앞이 뱅글뱅글 돈다[23] 사상 최초로 삼각함수가 마지막 단원이 아니다.[24] 기본과 심화로 구분되었지만 두 과목은 엄밀히 같은 계층인 '일반선택과목'이다. '수학Ⅰ'에서는 기본적인 개론과 함수의 그래프, 방정식 등을 다룬다면, '미적분'에서는 삼각함수의 덧셈정리, 반각공식, 배각공식, 극한, 미분, 적분 등을 다룬다.[25] 포털 검색 결과, trigonometry 번역 '삼각법'

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