삼각비

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1. 개요2. 기호와 그 기원3. 설명4. 여담
4.1. 삼각함수와의 차이점
4.1.1. 함수로 정의할 경우4.1.2. 일부 참고서에서의 오류
4.2. 교과상에서의 삼각비4.3. 타문화권에서의 삼각비
5. 관련 문서

1. 개요 [편집]

직각삼각형의 세 변의 길이 중 두 변의 길이간의 비례 관계를 나타내는 값이다. 일반적으로 비례 관계는 분수로 나타낸다. 또한 sin과 cos는 반비례이다.

2. 기호와 그 기원 [편집]

삼각비는 인도에서 처음으로 비롯되었고 이슬람세계에서 이를 발전시켰다. 많은 예상과는 달리 유럽이 이를 뒤늦게 받아들였다. 기호 sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan도 인도에서 비롯되었으며, 각 기호를 '사인(sine)', '코사인(cosine)', '탄젠트(tangent)'라고 부르며, 이 표기는 이들을 세 개의 철자로 축약한 것이다.
  • 사인(sine): 인도 천문학에서 나온 개념으로 산스크리트어 ज्या(jyā, 활시위)를 음차한 아랍어 jiba의 번역어이다. 12세기 이탈리아의 수학자 크레모나의 게라르도가 jb라고 약칭된 것을 جيب(jayb, 주머니, 가슴)로 착각하여 라틴어 sinus(빈 공간, 옷주름, 가슴)로 번역하게 된 것이다.
  • 코사인(cosine): sine의 complementary라는 뜻에서 cosine이 되었다.[1]
  • 탄젠트(tangent): 접한다(touching)는 뜻의 라틴어 tangens에서 유래하였다. 탄젠트는 영어로 접선이라는 뜻을 갖는데, 반지름이 1인 단위원으로 삼각비를 정의할 때 접선의 길이를 이용하여 정의된다는 데에서 이름이 유래했다.

이들의 역수는 각각 코시컨트(csc⁡\csc[2]), 시컨트(sec⁡\sec)[3], 코탄젠트(cot⁡\cot)라고 한다. 한자어로는 사인을 정현(正弦), 코사인을 여현(餘弦), 탄젠트를 정접(正接, 正切中), 시컨트는 정할(正割), 코시컨트를 여할(餘割), 코탄젠트를 여접(餘接, 餘切中)이라 한다.

3. 설명 [편집]

파일:attachment/trigonometry_triangle.png
아래 나열된 분수식으로 기억하면 더 헷갈린다. 삼각비는 구어적으로 이해하는 것이 중요하다. 항상 빗변의 길이를 나눠야 될 물리량으로 생각하면 직관적으로 적용할 수 있다. 밑변의 길이에서 나누면 코사인(cosine), 높이에서 나누면 사인(sine)이라고 한다. 일반인은 여기까지만 알면 된다.

엄밀하게는 직각삼각형에 대해 sine, cosine, tangent를 다음과 같이 정의한다.
  • sin⁡A=ah\displaystyle \sin A = {a \over h}
  • cos⁡A=bh\displaystyle \cos A = {b \over h}
  • tan⁡A=ab\displaystyle \tan A = {a \over b}

그리고 이들을 역수로서 cosecant, secant, cotangent 함수를 다음과 같이 정의한다.
  • csc⁡A=1sin⁡A=ha\displaystyle \csc A = {1 \over \sin A} = {h \over a}
  • sec⁡A=1cos⁡A=hb\displaystyle \sec A = {1 \over \cos A} = {h \over b}
  • cot⁡A=1tan⁡A=ba\displaystyle \cot A = {1 \over \tan A} = {b \over a}

각 삼각비의 진로를 각각 s, c, t의 필기체처럼 그려놓고 외우는 암기법이 가장 성행한다. 관련 그림 교과서에도 써져있다 4$로 외우면 더 쉽게 외워진다 카더라

4. 여담 [편집]

4.1. 삼각함수와의 차이점 [편집]

삼각함수와 관련이 있어보이지만[4] 수학자들 사이에서는 매우 상이한 정의 방법으로 인식된다.

삼각비는 직각삼각형으로 정의하는 논증기하학식 방법을 보이지만, 삼각함수는 평면좌표 상의 원으로 정의하는 해석기하학식 방법을 쓴다.

다음 GIF 파일을 보면 알겠지만, 90도(π/2) 단위마다 직각삼각형은 그저 하나의 선분에 지나지 않게 된다. 그래서 삼각비에서는 정의역이 0° < A < 90°로 제한되는 것이다.
파일:animated-sinewave-f12565eb6d460980214a51b713905917.gif

4.1.1. 함수로 정의할 경우 [편집]

삼각비는 '비례 관계'이며, 함수로 출발하려는 관점은 교육학에서도, 수학에서도 찾아보기 드물다. 그러나 함수로써도 정의가 가능하다.

삼각함수의 정의를 따르되 정의역이 0<A<π2rad(90°)\displaystyle 0 < A < {\pi \over 2} \rm rad \left(90 \degree \right) \it인 실수에 제한된다는 필요조건이 붙는다. 따라서 둔각에 대한 삼각함수의 정의가 이상하게 보일 수 있다(유클리드 공간에서 한 각이 둔각인 직각 삼각형은 존재하지 않으므로).[5]

구간 내의 값이 일대일 대응이기 때문에 역함수가 존재한다. 다만 공역이 0<f(x)<π20 < f(x) < \dfrac{\pi}{2}로 제한된다.
  • arcsin⁡ah=A\displaystyle \arcsin {a \over h} = A
  • arccos⁡bh=A\displaystyle \arccos {b \over h} =A
  • arctan⁡ab=A\displaystyle \arctan {a \over b} = A
  • arccsc ha=A\displaystyle \mathrm{arccsc}\, {h \over a} =A
  • arcsec hb=A\displaystyle \mathrm{arcsec}\, {h \over b} =A
  • arccot ba=A\displaystyle \mathrm{arccot}\, {b \over a} = A

4.1.2. 일부 참고서에서의 오류 [편집]

삼각비에서 0°0 \degree 와 90°90 \degree 를 정의하고 있으면 명백한 오류이다. 중학 과정에서 삼각비의 특수각을 30°30 \degree , 45°45 \degree , 60°60 \degree 만 소개해야만 올바르다. 단계나 과정상의 지침을 어겨서 그런 게 아니라 아예 수학적인 정의 자체가 틀려서 문제가 된다.

많은 사람들이 삼각함수와 삼각비를 같은 것으로 오해하는데 정의역 자체가 다르다. 삼각비는 삼각함수와 다르게 변수에 0°0 \degree 와 90°90 \degree 가 올 수 없다. 함수로써의 관점에서 봤을 때 삼각함수에는 적용이 가능하지만, 삼각형으로 정의되는 삼각비에서는 사잇각이 0°0 \degree 가 되면 유클리드 기하학 하에서 삼각형 자체의 성립 조건이 붕괴되기 때문이다. 또한 사잇각이 90°90 \degree 가 되면 그 빗변은 더 이상 빗변이 아닌 높이에 불과하므로 초기삼각형에서 정해둔 빗변과 높이의 개념이 바뀌어 정의가 불가능하다. 이럴 경우에는 극한값은 갖지만 함숫값은 가질 수 없으므로 엄연히 수학Ⅱ 과정의 '극한'과 '연속' 개념을 알아야만 한다.

따라서 중학교 3학년에 '삼각비'라고 명시되어있을 경우엔 sin⁡0°=0\sin 0 \degree = 0, cos⁡0°=1\cos 0 \degree = 1, tan⁡0°=0\tan 0 \degree = 0, sin⁡90°=1\sin 90 \degree = 1, cos⁡90°=0\cos 90 \degree = 0과 같은 항등식들은 모두 거짓이 되므로 유의해야 한다. 단, 재차 언급했듯이 cos⁡0°=1\cos 0 \degree = 1에서 가리키는 함수가 삼각비가 아닌 삼각함수라면 참이다.

정확한 표기는 다음과 같다.
  • '삼각비[a] sin⁡0°\sin 0 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 lim⁡A→0°+sin⁡A=0\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \sin A = 0이 성립한다.'
  • '삼각비[a] cos⁡0°\cos 0 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 lim⁡A→0°+cos⁡A=1\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \cos A = 1이 성립한다.'
  • '삼각비[a] tan⁡0°\tan 0 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 lim⁡A→0°+tan⁡A=0\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \tan A = 0이 성립한다'
  • '삼각비[a] sin⁡90°\sin 90 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 lim⁡A→90°−sin⁡A=1\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \sin A = 1이 성립한다.'
  • '삼각비[a] cos⁡90°\cos 90 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 lim⁡A→90°−cos⁡A=0\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \cos A = 0이 성립한다.'

단, 삼각비 tan⁡90°\tan 90 \degree 에 대해서는 올바르게 작성되어있는 참고서가 많다. 다만, 위 같은 내막을 알고 의도한 것이 아니라 삼각함수랑 동일격에 놓고 당연하다듯이 서술하였기 때문이다.
  • '삼각비 tan⁡90°\tan 90 \degree 는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 lim⁡A→90°−tan⁡A=∞\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \tan A = \infty와 좌극한 lim⁡A→90°+tan⁡A=−∞\displaystyle \lim_{A \to 90\degree+} \tan A = -\infty가 성립한다.'

4.2. 교과상에서의 삼각비 [편집]

전통적으로 중학교 수학 3학년 때 배워서 그런지, 아주 기본적인 것들을 다루기 때문에 개념을 잘 잡는다면 중3 삼각비는 아주 쉽게 돌파가 가능하다. 삼각함수는 고등학교 1학년 공통이었다가 2학년 과정(일반선택)이었다가 아예 자연계(이과) 전용으로 이동된 적이 있을 정도로 이동이 빈번한 편인데 반해, 삼각비는 교육과정 30여 년 역사상 중학교 3학년 과정을 벗어난 적이 없다.

4.3. 타문화권에서의 삼각비 [편집]

영미권 학생들은 sin cos tan을 각각 SOH CAH TOA, sine = opposite over hypotenuse, cosine = adjacent over hypotenuse, tangent = opposite over adjacent 이렇게 외운다. 한국어의 (분모) 분의 (분자)와 영어의 (분자) over (분모) 어순이 달라서 그렇다. 쏘 카 토아 라고 외우면 된다[11]

일본에서는 고1 의 수학Ⅰ 과정에서 삼각비를 배운다.

5. 관련 문서 [편집]

[1] 그래서 sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ \sin ({\pi \over 2} - \theta) = \cos \theta 이다. 오히려 사인과 코사인을 삼각비로 정의한 다음에 사인과 코사인 사이에는 이러한 관계가 있다는 식으로 표현을 많이 하지만, 이 식에서 코사인이 태어나게 되었다.[2] 불과 2000년대까지만 해도 대한민국에서는 cosec⁡\cosec으로 썼으나, 현재는 세계 표준인 csc⁡\csc로 모두 통일되었다.[3] 탄젠트와 마찬가지로 단위원을 이용해 시컨트를 정의할 때 원의 할선(secant)의 길이를 이용해 정의되는 데서 이름이 유래했다[4] 우선 기호부터 같다.[5] 구면삼각형 가운데 한 각이 둔각인 직각삼각형이 존재하며, 더 나아가 직각을 끼고 있는 오목삼각형까지 성립된다.[a] 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 정의역이 모든 실수인 삼각함수에서는 참이 되지만 '삼각비'는 아님에 유의하자.[11] 아닌 게 아니라 이 별것 아닌 것 같지만 도저히 적응 안 되는 어순 때문에 한국인들은(사실 일본이나 다른 나라도 많이 겪는 현상이긴 하다) 칸 아카데미나 OCW 같은데서 영미권 수학강의를 처음 들으면 본인의 영어나 수학 실력에 관계없이 뭐라 표현할 수 없는 아스트랄함을 느끼게 된다. 눈높이 구몬 할 때부터 분모 먼저 쓰고 분자 쓰라고 배웠건만 양놈들은 왜 분자 먼저 쓰고 분모를 쓴단 말인가!(미분은 분수형태 dx/dt로 나타낼 수 있지만 윗글자를 먼저 쓴다) 단순히 분수 읽고 쓰는 것을 넘어 미분적분, 물리 용어 같은 데서 나비효과가 벌어지는데, 언어가 사소한 사고방식에도 영향을 끼치는 사례라 할 수 있다. 이런 현상은 의외로 대학 고학년생들도 겪는 문제로, 한국에서 아무리 영어 원서를 독파해도 이런저런 식을 '영어로' 어떻게 읽는지는 유학을 가거나 외국인 교수에게 배우지 않고는 모르는 경우도 빈번하다.

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