일차함수

기울기는 $a$ 이다.
좌표평면상의 그래프는 직선이다.
- $a>0$ 이면, $x$ 값이 증가하면 $y$ 값이 증가한다.
- $a<0$ 이면, $x$ 값이 증가하면 $y$ 값이 감소한다.
$x$ 절편은 $-\dfrac{b}{a}$ 이다.
$y$ 절편은 $b$ 이다.
도함수는 $f'(x)=a$ 로 상수함수이다.
역도함수는 $\displaystyle \int f(x)\,{\rm d} x=\dfrac{ax^2}{2}+bx+C$ 로 이차함수이다.(단, $C$ 는 적분 상수.)
극값을 갖지 않는다.[1]

2. 해석기하학적 의미 [편집]

2.2. 극좌표계에서 [편집]

극좌표계상에서

r(\theta) = a\theta + b \qquad

(

a \neq 0

이고,

a

,

b

는 상수)

의 그래프는 나선이 되는데 이를 아르키메데스 나선이라고 한다.

아래는 가장 간단한 경우인

b=0

인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.

파일:나무_아르키메데스_나선.png

3. 해석학적 의미 [편집]

위 정의식에서

a=1

,

b=0

일 경우[2]를 생각해보자.

f(x) = x

이는 항등함수의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다:

원점에 대칭인 홀함수이다. 즉 $x =-(-x)$ 가 성립한다.
역함수의 기준선이다. 즉 역함수 관계의 두 함수는 $f(x) = x$ 에 대칭이다.
- 역함수는 자기 자신이다.
정비례 관계이다. 즉 $x$ 가 증가하면 함숫값도 증가하는 증가함수이다.
도함수는 상수함수로, $f'(x) =1$ 이다.
역도함수는 이차함수로, $\displaystyle \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} +C$ 이다.(단, $C$ 는 적분 상수.)

3.1. 등차수열 [편집]

등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나기 때문에, 공차를 일차항의 계수로 하는 일차함수로 볼 수 있다. 등차수열 참고.

3.2. 일차함수에 관한 추론 [편집]

다항함수/추론 및 공식 참고.

3.4. 미분가능성 [편집]

수학에서 미분(영어: derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다.[1] 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 관한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 ƒ(x)의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다.

동사로서 미분(영어: differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다.

미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.

4. 선형대수학적 의미 [편집]

선형대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수(벡터)로 가정하고 이를 집합(벡터 공간)으로 삼아 이론을 전개한다.

5. 정수론적 의미 [편집]

디리클레 정리가 일차함수 위의 소수를 다룬다.

6. 고전역학적 의미 [편집]

등속직선운동이 일차함수의 형태를 띤다.

[1] 그야말로 모든 경우에 극값을 갖지 않는 다항함수의 차수는 1차밖에 없다.[2] 이렇게 단항식으로 정의된 다항함수는 따로 멱함수(冪函數)라고 칭한다.