비례·반비례

멱함수의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 $1 \over 2$배, $1 \over 3$배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.

식으로 나타내자면 $a$가 상수일 때 $y=ax$를 만족시키는 경우 두 변수 $x, y$는 정비례 관계에 있고, $\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1}$를 만족시키는 경우 $x, y$는 반비례 관계에 있다. 간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모가 비례상수일 경우는 정비례다. 다시 말해, 비례상수 그 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 $\displaystyle y=\frac{x}{2}={1 \over 2}{x}$는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 0일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[1]

두 변수 $x, y$가 정비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 $f$에 대하여 $y=f\left(x\right)$를 만족시킨다는 뜻이다.

이 정의를 이용해 정비례하는 함수 $f$를 묘사하는 식을 구할 수 있다. $x\neq 0$일 때, $\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $k, x$에 대하여 $g\left(kx\right)=g\left(x\right)$가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 $x$에 대해서 $g\left(x\right)$는 일정한 값을 갖는다. 그 값을 상수 $a$라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $x$에 대해서 $f\left(x\right)=ax$를 만족시킨다. 그런데 정의에 의해 $f\left(0\right)=0$이다. 따라서 임의의 $x$에 대해 $f\left(x\right)=ax$이다. 즉 정비례 관계의 함수는 일차함수이다.

비례관계의 정의는 역함수를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 지수함수를 $f\left(x\right)=x$에 대칭시키면 로그함수가 튀어나온다.

두 변수 $x, y$가 반비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 $f$에 대하여 $y=f\left(x\right)$를 만족시킨다는 뜻이다.

즉, 반비례 함수는 분수함수이다.

이때, 반비례 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[2], 1에서 자연로그의 밑 $e$까지 정적분을 하면 1이 나온다.

반비례 함수의 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.

반비례 관계의 항 중 분모가 자연수인 항을 모조리 더한 것을 '조화급수'라고 하며 여기서 자연로그를 뺀 부분을 모두 더하면 오일러-마스케로니 상수를 구할 수 있다.

비례하는 함수 $y=kx$($k$는 상수)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$y \propto x$

순서를 바꾸어 $x \propto y$와 같이 쓸 수도 있다.

마찬가지로 반비례하는 함수 $y=\dfrac{k}{x}$($k$는 상수)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$y \propto \dfrac{1}{x}$