무차원량

무차원량(無次元量; dimensionless quantity)은 측정학(metrology)에서 쓰이는 용어로, 차원 분석 시 모든 차원의 지수가 $0$이 되는 물리량을 가리킨다. 수학적으로 이는 곱셈·나눗셈의 항등원이므로 차원 기호는 $\sf 1$로 나타낸다.
물리량은 수와 단위의 곱으로 이루어져있으므로 단위가 없는 수학 상수들은 $1$이라는 단위가 곱해진 물리량으로 간주할 수 있어 무차원량이며, 단위는 미지수의 계수 $1$을 생략해서 나타내듯이 $1$이 생략된 물리량으로 간주할 수 있으므로 차원이 없는 단위 역시 무차원량이다.

어떤 물리량 $Q$의 차원 $\dim Q$는 7가지의 기본 차원(base dimension), 즉 길이($\sf L$), 질량($\sf M$), 시간($\sf T$), 전류($\sf I$), 온도($\sf\Theta$), 물질량($\sf N$), 광도($\sf J$)를 각각 밑으로 하는 지수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉

$Q$가 2가지 이상의 물리량의 곱셈·나눗셈으로 이루어져 있을 경우 그 차원 역시 똑같은 연산의 영향을 받으므로 $\dim Q$의 식에서 각 차원의 차수가 어떻게 되는지를 수학적으로 계산할 수 있다. 이를 차원 분석(dimensional analysis) 또는 차원 해석이라고 하는데 계산 결과 모든 차원의 지수가 $0$이면 $Q$는 '무차원량'이라고 한다.

단, 이들 기본 차원으로 나타낼 수 없거나 차원 분석이 불가능한 단위들(특히 셈 측도에 해당하는 것들[1])은 통상적으로 무차원량으로 약속한다.

$1$, 원주율 $\pi$, 자연로그의 밑 $e$을 포함한 모든 수학 상수는 무차원량이다. 심지어 허수 단위 $i$를 포함한 사원수의 다른 허수 단위 $j$, $k$도 무차원량이며 이를 확장한 체계의 다른 단위들 역시 무차원량이다.

로가리듬은 지수의 역함수, 즉 지수함수의 지수에 해당하기 때문에 항상 무차원량이다. 따라서 이들 수식을 바탕으로한 단위 역시 모두 무차원량이다. 거꾸로 지수의 결과값 역시 무차원량이기 때문에 각 로가리듬의 정의역에는 무차원량이 대입되어야 한다.

단위가 같은 두 물리량의 율이기 때문에 분율에 속하는 모든 물리량은 무차원량이다.

사실 평면각은 '회전'(turn)을 단위로 하여 나타낼 수도 있는데 회전이 무차원의 단위이기 때문에 평면각 자체가 무차원량이다. 라디안은 이를 수학적으로 더 엄밀하게 나타낸 표현에 불과하다. 입체각은 평면각의 제곱과 같으므로 입체각 역시 그 자체로 무차원량이며 이를 엄밀하게 정의한 것이 스테라디안이다.