네퍼

네퍼(Neper, $\rm Np$)는 기준에 대한 비율에 자연로그를 취했을 때의 단위이다. 비SI 병용 단위에 등록되어있다. 자연로그의 값으로 정의되기 때문에 차원이 없다. 네퍼는 로가리듬에 대한 개념을 창시한 존 네이피어의 이름에서 따왔다.

기준 $X_0$에 대한 $X$의 증가 혹은 감소 레벨을 나타내는 네퍼 $L_{\rm Np}$는 다음과 같이 정의된다.

어떤 비율의 로가리듬으로 정의되는 특성상 밑 변환 성질을 이용하여 네퍼의 수치를 데시벨의 수치로 용이하게 환산할 수 있다.
이때 약간의 주의가 필요한데, 데시벨이 전기 분야에서 자주 쓰이는 단위인 만큼 표준적으로는 전력의 비에 대한 상용로그로 정의되어있고, 네퍼는 전압 혹은 전류의 비에 대한 자연로그로 정의가 되어있다. 전력 $P$는 전압 $V$, 전류 $I$에 대해 $P = VI$이므로 저항을 $R$이라고 하면 옴의 법칙에 의해 $P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}R$이다. 따라서 데시벨의 정의에서 가령 전압의 비에 대한 식으로 변형하면 $L_{\rm dB}/{\rm dB} = 10\log_{10}\dfrac P{P_0} = 10\log_{10}\dfrac{V^2}{{V_0}^2} = {\bf20}\log_{10}\dfrac V{V_0}$, 즉 전압 및 전류를 썼을 때에는 결과값이 2배가 된다![1] $\log_{10}x = \dfrac{\ln x}{\ln10}$이므로 정리하면 데시벨 $L_{\rm dB}$과 네퍼 $L_{\rm Np}$의 관계는 다음과 같다.

요컨대 네퍼의 값에 $\dfrac{10}{\ln10}$(혹은 $10\log_{10}e$)만 곱하면 되는 것이 아니고[2] 거기에 $\bf2$를 곱해야 한다. 약식 표기로 나타내면

이 된다.