데시벨

데시벨(decibel, $\rm dB$)은 기준에 대한 비율에 상용로그를 취한 물리량의 단위이다. 비 SI 병용 단위에 벨(Bel, $\rm B$)과 함께 등록되어있다. 상용로그의 값으로 정의되기 때문에 차원이 없다.

개요에서 전술한대로, 데시벨의 수치는 기준치에 대한 비율에 상용로그를 취한 것이기 때문에 데시벨 자체는 절대치가 아니라 상대치이다. 일상적으로 절대치처럼 쓰이는 단위들은 기준값이 고정되어있고 데시벨 뒤에 부가적인 기호를 붙여야 하는데[1] 이걸 보통 생략하고 쓰기 때문에 절대치인 것으로 착각하기 쉽다.

우선 SI 접두어가 빠진 벨[2]은 기준 $P_0$에 대한 측정값 $P$의 비에 상용로그를 취한 물리량의 단위로 정의된다. 즉,

데시벨은 위 식에서 단위에 데시를 붙인 것, 즉 벨에 $10^{-1}$을 곱한 것과 같으므로 최종적으로는 양변을 $\rm d = 10^{-1}$로 나눈 것과 같다. 따라서 $L_{\rm dB}$는 다음과 같이 정의된다.

쉽게 말해서 $\rm1\,dB$은 기준치의 $10^{\frac1{10}}$배, 즉 약 $1.259$배를 나타낸다. 데시벨 수치가 $10$ 올라갈 때마다 실제로는 기준치의 $10$배씩 증가하는 셈이다.

참고로 이때의 $P$는 전력랑(power quantity)을 의미하는 기호로 장량(field quantity)인 전압 $V$를 쓸 경우 $P = \dfrac{V^2}R$의 관계에 따라

가 되어 데시벨의 수치가 2배로 증가하게 된다! 따라서 데시벨로 나타낸 수치를 읽을 때에는 무엇에 대해 측정한 값인지를 잘 읽어야 한다. 골드웨이브에서도 $\rm20\,dB$을 $10$배로 계산한다.

굳이 데시벨을 따로 쓰는 이유는 벨 자체가 실생활에서 쓰기에 너무 큰 단위이기 때문이다. 벨을 쓰면 $\rm3\,B$만 하더라도 기준치의 $\boldsymbol{1000}$배가 되기 때문에 웬만한 수치들은 소수로 나타내야 하고 그러다 보니 정의도 그렇고 배수 관계도 약간 복잡하다.

동일하게 비율에 자연로그를 취한 네퍼와는 로그의 밑변환을 통해 용이하게 환산이 가능하다. 이때 네퍼는 장량에 대한 비율의 자연로그로 정의가 되어있기 때문에 장량에 대한 데시벨의 정의 식을 적용한다. 즉

에서 $\log_{10}x = \dfrac{\ln x}{\ln10}$이므로

이 된다. 약식 표기로 나타내면

이다.

소음 공해의 정도는 음압 레벨을 측정하여 나타내는데 이때 쓰이는 데시벨은 엄밀히는 $\rm dB_{SPL}$ 혹은 $\rm dB~SPL$을 단위로 하는 값으로, 보통 사람이 들을 수 있는 가장 작은 소리의 음압 $\rm0.0002\,dyn/cm^2=20\,\textμPa$을 기준으로 정하고 절댓값으로 사용한다. 음압 레벨은 장량에 속하는 물리량이기 때문에 정의 문단의 두 번째 식을 쓴다. 예를 들어 음압이 $\rm40\,dB_{SPL}$이라는 것은 '가장 작은 소리의 $100$배' 크기라는 뜻이다.

다만, 이것은 공기 중에서의 이야기이고 수중에서는 $\rm0.000\,01\,dyn/cm^2=1\,\textμPa$을 기준으로 한다. 왜냐하면 물은 밀도가 약 $\rm1000\,kg/m^3$이며 음속이 $\rm1445\,m/s$다. 그러므로 고유 음향 임피던스 $Z_0$는 밀도에 음속을 곱하여 $\rm1\,445\,000\,rayls$지만 공기는 $\rm415\,rayls$이다. 음압의 세기 $I$는 음압 $p$와 $Z_0$에 영향을 받는데 $I = \dfrac{p^2}{Z_0}$이기 때문에 $Z_0$가 크면 클 수록 같은 음압이 발생해도 음압의 세기는 약해진다. 그래서 공기 중일 때 기준 음압인 $\rm20\,\textμPa$보다 작은 값인 $\rm1\,\textμPa$를 기준으로 하는 것이다.

여기서부터는 청각에 영향을 줄 수 있는 소음으로 분류된다.

전기/전파 관련에서도 절대적인 값으로 쓰이는데 역시 추가적인 기호를 덧붙여서 특정 용도의 절대수치임을 명확히 한다.($\rm dBm$, $\rm dBV$ 등).

데시벨이 음향, 전기전자, 통신 등 공학 분야에서 널리 쓰이는 몇 가지 이유가 있다.

여담이지만 데시벨 단위를 인터넷에 검색해도 웬만한 데시벨 값에 대한 연구나 자료들은 잘 안 나오는데, 이는 일상생활에서 잘 이용되지 않을 뿐더러 관련 학계조차도 연구가 활발히 이루어지는 것이 아니기 때문이다. 따라서 소리 관련 자료는 구하기 쉽지만 단위 그 자체의 자료는 비교적 자주쓰이는 단위인데도 불구하고 다른 단위들에 비해 찾기가 쉽지 않다.

vsauce3 유튜브 채널에선 $\boldsymbol{1100\,}\bf dB$의 에너지량을 구했다.

위 영상에 따르면 1100dB의 일률은 10⁹⁸W(=J/s)로 우주 전체 질량을 에너지로 환산한 값인 4 x 10⁶⁹J보다 그 값이 한참 상회하기 때문에, 실제로 발생한다면 질량-에너지 등가원리[3]를 통해 질량으로 변환되며, 그 값이 약 1.113x10⁸⁰ kg이라고한다. 이미 우주에 전체 질량 + 에너지보다 한참 큰 값[4]이기 때문에 당연히 에너지가 압축되면서 질량으로 변하고 그게 다시 블랙홀로 변환된다고. 관측가능한 우주보다 더 큰 블랙홀이 탄생한다는 건 덤. 데시벨에 관련된 자료가 왜 없는지에 대해 아주 잘 설명해주는 동영상이라고 볼 수 있다. 데시벨 자체가 로그 스케일이다보니 값이 워낙 커져서...

위의 영상에 나오듯이 195 dB 이상은 충격파로 간주하게 되는데, 아폴로 계획의 새턴 V 로켓 발사 시 소음이 204 dB이었다. 이 정도면 고막이 문제가 아니라 아예 사망까지 갈 수도 있는 수준이다. 물론 로켓 발사 시 이 충격파를 받을 만큼 가까운 곳에 사람이 있을 리가 만무하기에 사람보다는 인접한 기계들에 무리가 갈 수 있으므로 로켓 이륙 패드에 살수장치나 나일론 패드 등 여러 장치를 해두어 전투기 이륙수준의 소음으로 소리를 줄였다. 한편, 바이코누르 우주기지에서는 영하 40도까지 떨어지는 지리적 특성상 살수장치를 사용하기가 어려웠고[5], 이 때문에 매우 큰 굴을 파 음파를 흩뜨리는(서로 부딪히게해 상쇄시키는) 방식으로 해결했다.

자연에서 발생한 소음 중 가장 큰 소음으로 기록된 것은 크라카타우 화산이 폭발할 때 낸 폭음이다. 추정값은 170~180 dB인데, 웬만한 소음 저리가라 할 정도로 컸다.