입체각

solid angle · 立體角

입체각은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 $\Omega$(오메가)로 나타낸다.

스테라디안(steradian, $\rm sr$)을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; $\deg^2$ 혹은 $\degree^2$)를 단위로 하는 정의가 있다. 전자가 입체각에 차원이 없음을 단적으로 드러내는, 좀 더 엄밀한 방식이며 그래서인지 SI 단위계의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다.

호도법에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 $l$인 부채꼴의 반지름이 $r$일 때, 각 $\theta$는 다음과 같이 정의된다.

특히, 반지름이 $1$인 단위원에서 각의 크기는 결국 호의 수치와 같다.

이와 유사하게, 반지름이 $r$인 구면 위 한 영역의 면적이 $A$일 때, 입체각 $\Omega$는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.

파일:나무_입체각_정의.png
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 $1$이라면, 입체각의 크기는 구면 위의 $A$의 넓이 수치가 된다. 차원이 $\sf L^2$으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 차원이 없다.

단위인 스테라디안($\rm sr$)은 라디안과는 달리 일반적으로 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 $\pi$라고만 적어놓으면 이게 평면각($\rm\pi\,rad$)인지, 입체각($\rm\pi\,sr$)인지 구분이 되지 않기 때문이다.

$A$의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 $r_0\alpha$인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

파일:나무_부채꼴회전체_수정.png

중심각 $\theta$가 $\theta=\alpha$인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 $\phi$라고 하면 $\phi$의 범위는 $[0,\,2\pi]$이고, $A$의 미소 넓이 ${\rm d}A$는 두 변의 길이가 $r_0\,{\rm d}\theta$, $r_0\sin\theta\,{\rm d}\phi$인 사각형의 넓이 ${r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi$와 같다. 따라서 $A$의 넓이는 ${\rm d}A = {r_0}^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi$를 적분한 값으로, 다음과 같다.

정의에 따라 입체각은

이고 역시 입체각에 차원이 없음을 확인할 수 있다. $\alpha=\pi$인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 $\rm4\pi\,sr$이 된다. $\Omega = 1\,\rm sr$이 되게 하는 각 $\alpha$의 값은 다음과 같다.

나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, $A$를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 $V$가 나오는데

위 식에서 $\alpha = \pi$를 대입하면 구의 부피 $4 \pi r^3/3$이 나온다.

이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 $\rm O$라고 하자.

우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 $1$인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.

파일:나무_평면각_구하는법_수정.png

그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 $1$인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.

파일:나무_입체각_구하는법.png

이를 토대로 우리는 곡면 $S$ 상의 미소 면적소 ${\rm d}a$를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 ${\rm d}\Omega$를 고려하자.

파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png

즉, ${\rm d}\Omega$는 반지름이 $1$인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. $S$ 상의 미소 면적소 ${\rm d}a$를 반지름이 $r$인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 ${\rm d}a'$이라 하자. 그리고 ${\rm d}a$의 면적소 법선 벡터를 $\bf\hat n$이라 하자. 면적소 ${\rm d}a'$은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 $\bf\hat r$이 될 것이다. 사실상 ${\rm d}a'$은 ${\rm d}a$의 정사영이므로

으로 쓸 수 있다. 여기서 $\bf(\hat n,\,\hat r)$는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면

이고, ${\bf\hat n}\,{\rm d}a\equiv{\rm d}{\bf a}$이므로

로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해

로 쓸 수 있으므로, 곡면 $S$에 대한 입체각은

로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 $\rm O$가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 $\bf v$가 원점에서부터 $\rm O$까지의 위치 벡터라면, $\bf r\to r-v$이므로

도 성립한다.

파일:namu_soild_angle_5.png

폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 $\rm O$[1]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조)

폐곡면 $S$ 내부에 점 $\rm O$가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,

이다. 그러나 $\rm O$가 폐곡면 $S$의 외부에 있다면 입체각은 $0$이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다.

파일:나무_입체각_123.png

위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 $S$는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 ${\rm d}{\bf a}$가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[2]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 $0$이 된다.[3]

나아가 점 $\rm O$가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.

구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 $r$인 구면에 대해

임을 알고 있으므로, 반지름 $r$인 구면에 대해 입체각은

로 쓸 수 있다. 따라서 구면 좌표계의 부피소를

로 쓸 수 있다. 만약 적분되는 함수 $V(r)$이 명백히 $r$에만 의존한다면, 적분항은 다음과 같이 분리될 수 있을 것이다.

육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다.

이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 $x\degree$, $y\degree$씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[4]을 만드는 입체각은 $xy\,\deg^2$이다. 따라서 $1$평방도는 $1\degree$씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.

예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 $1303\,\deg^2$이며 이는 천구의 약 $1/32$을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 $68\,\deg^2$이다.

구의 반지름을 $r$이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 $z$, $w$로 만들어지는 호의 길이는 각각 ${z\pi r}/{180\degree}$, ${w\pi r}/{180\degree}$이므로, 해당 영역의 넓이 $A$는

이 영역의 입체각은 $zw$이고 구의 겉넓이가 $4\pi r^2$이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 $\Omega_{\deg^2}$을 구할 수 있다.

따라서 다음과 같은 관계가 나온다.

입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 $\Omega_{\deg^2}$, 스테라디안 단위로 하는 입체각 $\Omega$는 각각

이므로, 스테라디안과 평방도 사이에는 다음과 같은 비례식이 성립한다.

좀 더 일반적으로 다음의 환산식이 성립한다.

[5] 나아가 이 관계식으로부터 라디안과 스테라디안의 관계도 도출해낼 수 있는데

에서 $\rm sr = rad^2$, 즉 라디안의 제곱이 곧 스테라디안이다.[6] 그러나 이 관계가 $\rm rad^2$이 단위에 포함되는 모든 물리량에 대해 성립하는 것은 아니다. 이를테면 구심력의 구심 가속도는 원운동의 반지름 $r$, 각속도 $\omega$를 이용하여 $r\omega^2$으로 주어지는데, 단위를 엄밀하게 적용하면 $\rm m\!\cdot\!rad^2/s^2$이지만 구심 가속도는 입체각과 아무런 연관이 없다.[7]

지구에서 위도 $\varphi_1$, $\varphi_2$, 경도 $\lambda_1$, $\lambda_2$(단, 단위는 모두 $\rm rad$)로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 $\phi = \lambda$에 대응되며 위도는 적도, 즉 $xy$평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면

이다. 따라서

이고 해당 영역의 넓이 $A$는

로 주어지므로 입체각은 $|\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1||\lambda_2 - \lambda_1|\,{\rm sr}$이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, $\varphi$, $\lambda$가 육십분법 각이라고 하면 삼각함수의 변수가 ${\varphi\pi}/{180\degree}$로 바뀌며 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다.