구심력

파일:external/upload.wikimedia.org/300px-Centripetal_force_diagram.svg.png
붉은 선이 구심력. 출처 정보

구심력(求心力, centripetal force)은 물체가 원 운동을 하게 만드는 힘이다. centripetal은 라틴어로 중심이란 뜻의 centrum과 갈구한다는 뜻의 petere가 결합된 단어이다. 한자어로도 공 구(球) 자가 아닌 구할 구(求) 자를 쓴다. 구심력은 항상 곡률 중심(회전 축의 중심인 경우가 많다)을 향한다는 점에서 적절한 번역인 듯.

1659년 네덜란드 물리학자인 크리스티안 하위헌스(Huygens, C. : 1629~1695)[1]가 구심력을 수식으로 기술한 적이 있다. 의외로 오래된 개념이다.

물체가 원운동을 하도록 방향을 바꾸는 역할을 하는 힘을 구심력 이라고 한다. 따라서 구심력의 기저에는 중력, 마찰력 등 다양한 힘이 있을 수 있다. 가상적인 힘인 관성력의 일종인 원심력과는 달리 구심력은 실재하는 힘이다.

구심력을 바탕으로 빗길에 미끄러지는 차량을 생각해 볼 수 있다. 빗길에서는 커브시 타이어의 마찰력이 감소한다. 마찰력이 구심력의 역할을 해야 하는데 이 구심력이 감소한 것이다. 수식을 보면 알겠지만, 선속도가 일정할 때, 구심력 $F_c$가 감소하면 반지름이 $r$이 증가해야 한다. 따라서 $r$이 증가한 만큼 회전하게 되니 가드레일로 돌진하게 되는 것이다.

수학적으로 구심력은

질량 $m$인 물체를 $v$의 선속력, 혹은 $\omega$의 각속력으로 반지름 $r$인 원운동을 시킬 때의 구심력의 크기 $F_c$는,

으로 나타낼 수 있다.

원 궤도를 따라 이동한 거리 $l$은 중심 $\rm O$로부터의 반지름 $r$과 각변위 $\theta$를 이용해서 $l = r\theta$로 표현되며, 각속도 $\omega$는 $\omega = \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}$로 정의된다. 이 때 각속도 벡터 $\bf\Omega$의 방향은 오른손 법칙에 따라 평면상의 반시계 방향 회전에 대해 평면을 뚫고 나오는 방향이 양의 방향으로 정의되며, 선속도 벡터 $\bf v$는 $\bf\Omega$와 변위 벡터 $\bf x$의 벡터곱 $\bf v = \Omega\times x$로 나타낼 수 있다.[2] 선속도의 크기 $v$는 $v = \|{\bf v}\|= \|{\bf\Omega\times x}\| = {\|\bf\Omega\|\|x\|}\sin\phi = \omega\cdot r\sin\dfrac\pi2 = r\omega$가 된다.[3]

$\bf v$를 $t$에 대해 미분한 가속도 $\bf a$는 벡터곱의 분배 법칙에 따라 다음과 같이 되는데

위 식에서 제2항이 구심가속도 $\bf a_c$를 나타낸다. 식을 잠깐 살펴보면 앞서 $\bf v = \Omega\times x$였고 ${\bf v} = \dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t}$이므로 ${\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t} = \bf\Omega\times(\Omega\times x)$로 나타낼 수 있는데, 벡터곱의 삼중곱을 적용하면 $\bf\Omega\times(\Omega\times x) = \Omega(\Omega\cdot x)-x(\Omega\cdot\Omega)$가 되고 ${\bf\Omega\cdot x} = 0$, ${\bf\Omega\cdot\Omega = \|\Omega\|}^2 = \omega^2$이므로 ${\bf\Omega(\Omega\cdot x) - x(\Omega\cdot\Omega) = \Omega}\cdot 0-{\bf x}\cdot\omega^2 = -\omega^2{\bf x}$. 즉 제2항은 변위 벡터와 방향이 정반대, 곧 원의 중심을 향하는 벡터임을 알 수 있고, 그 크기 $a_c$ 역시 $a_c = \|-\omega^2{\bf x}\| = \omega^2r$로 구심가속도의 특성과 정확하게 일치한다.
제1항은 각속도의 미분에 관련된 식으로 선가속도(접선가속도) $\bf a_t$를 의미하며 원운동의 가속도는 접선가속도와 구심가속도의 합임을 알 수 있다. 아울러 각 식이 의미하는 바도 유추할 수 있는데 $\bf a_t$는 $\bf v$의 각속도에 영향을 주는 물리량이며, $\bf a_c$는 $\bf v$의 방향에 영향을 주는 물리량임을 알 수 있다. 등속 원운동의 경우 각속도가 일정하기 때문에 $\bf a_t = 0$이 되어 구심가속도만 남은 특수한 경우로 볼 수 있다.

구심력을 ${\bf F_c}$라고 하고 이를 운동 방정식에 적용하면

이 얻어진다.

중심 $\rm O$로부터 거리 $r$만큼 떨어져서 각속도 $\omega$로 움직이는 물체가 있다고 하면, 직교좌표계에서 이 물체의 좌표는 시간 $t$에 따른 함수로 결정된다. 즉

이다.[4]
이 매개변수를 $t$에 대해 미분하면 시간에 따른 좌표의 변화이므로 선속도가 된다.

단, 이건 시간 $t$에 대하여 $x$좌표상에 사영된 선속도와 $y$좌표상에 사영된 선속도이며, $v(t)$는 $v_x(t)$, $v_y(t)$를 성분으로 갖는 벡터가 되므로 선속도의 크기 $v$를 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합의 제곱근 즉,

로 $v$를 구할 수 있다.
마찬가지 방법으로 $x'(t)$와 $y'(t)$를 $t$에 대해 한 번 더 미분하면 구심 가속도의 크기 $a_c$를 구할 수 있으며, 계산하면 $a_c = r\omega^2$이 된다.
$v = r \omega$에서 $\omega = \dfrac vr$이므로 $a_c$에 대입하면 $a_c = r\omega^2 = r\left(\dfrac vr\right)^2 = \dfrac{v^2}r$이 된다.
각 식을 운동 방정식 $F_c = ma_c$에 대입하면 $F = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r$가 된다.
전자는 각속도와 반지름이 주어졌을 때 구심력을 구하는 식이며, 후자는 각속도가 아닌 반지름과 선속도가 주어졌을 때 구심력을 구하는 공식이다.