항등식

$\displaystyle {d \over dx} c = 0$ (c는 상수)
$\displaystyle {d \over dx} x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c$ (c는 상수)
$\displaystyle {d \over dx} \exp x = \exp x$
$\displaystyle {d \over dx} \ln x = x^{-1}$
$\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a)$ (단, 함수 $f'$ 이 닫힌 구간 $\left[a, b\right]$ 에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조.)
$\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec\tan x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x$
$\displaystyle \frac{d}{dx} |x| = \mathrm{sgn}\left(x\right) \leftrightarrow \int \mathrm{sgn}\left(x\right) = |x| + C$ [3]
$\displaystyle \frac{d}{dx} \mathrm{sgn}\left(x\right) = 2\delta\left(x\right) \leftrightarrow \int 2\delta\left(x\right) = 2 \theta \left(x\right) + C = \mathrm{sgn}\left(x\right) + 1 + C$ [4]

2.5. 벡터 [편집]

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}$
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}$

2.6. 미분류 [편집]

${}_n\mathrm P_r = \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+1 \right)} = \left( n-r+1 \right) \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+2 \right)} = \left( n-r+1 \right) \cdot {}_n\mathrm P_{r-1}$
(단, $\Re(n+1), \Re(n-r+1), \Re(n-r+2) \notin \mathbb{Z} - \mathbb{N}$ [5])
$\Im(a)=0 \,\,\,(a \in \mathbb{R})$ [6]

3. 미정계수법 [편집]

x

에 관한 등식

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

이

x

에 관한 항등식이 되기 위한 조건은

a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0

이다. 비슷하게

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0

이

x

에 관한 항등식이 되기 위한 조건은

a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n

이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.

계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[7] 방정식을 푸는 방법.

숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
~~생각해보라. $(x-1)^{10}$ 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까?~~ ~~아마 용자들은 할지도~~ ~~우리에겐 이항정리가 있다!~~

4. 관련 문서 [편집]

[1] 이 조건을 '자명하다'라고 한다.[2]

\mathrm{li}(x)

는 로그 적분 함수,

\mathrm{Ei}(x)

는 지수 적분 함수이다.[3]

\mathrm{sgn}\left(x\right)

는 부호 함수이다.[4]

\delta\left(x\right)

는 디랙 델타 함수,

\theta\left(x\right)

는 헤비사이드 계단 함수이다.[5] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.[6] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[7] 보통 0이나 1을 대입한다.[8] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.