등차수열

arithmetical sequence(progression) · 等差數列

2, 4, 6, 8, 10, $\cdots$처럼 연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열이라고 한다. 연속한 두 항에서, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 공차(common difference, 公差)라고 한다. 일반적으로 등차수열의 첫째 항을 $a$, 공차를 $d$로 표기한다. 첫째 항은 초항(初項)이라고도 하며, 문자 $d$는 difference의 머리글자이다.

등차수열은 연속한 두 항의 차가 일정하므로, 계차수열의 일반항이 상수식(공차)인 수열이다.

수열 $\{a_{n} \}$이 공차가 $d$인 등차수열이면 임의의 자연수 $k$에 대하여 다음이 성립한다.

이에 따라 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.

꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 일반항을 정할 수 있다.

$a$, $b$, $c$가 등차수열의 연속한 세 항일 때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 한다.

곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 나머지 두 항의 산술평균이다. 예를 들어 등차수열 $a_n$에 대하여 $a_6$, $a_7$, $a_8$의 등차중항은 $a_7={(a_6+a_8)}/2$이다.

등차수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등차수열 $a_n=a+(n-1)d$에 대하여 좌표평면에 $(n,\, a_n)$을 나타내면 다음과 같다.

파일:namu_등차수열_1_수정_NEW.png

각 점의 $n$좌표는 몇 번째 항인지를, $a_n$좌표는 항의 값을 나타낸다. 등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 일직선상에 있다. 나아가, 각 점을 이은 직선의 기울기는 공차와 같다. 이렇게 보면, 등차수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 일차함수이다.

나아가, 등차수열의 연속한 세 항에 대하여, 등차중항을 나타내는 점은 나머지 두 항을 나타내는 점을 이은 선분을 $\boldsymbol {1:1}$로 내분하는 점이다.

이에 따라 $a_n$에서 본디 $n$은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 $n$이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.

등차수열 $\{a_n\}$과 음이 아닌 정수 $m$에 대하여

특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등차수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등차수열의 합을 구하는 문제로 자주 나온다.

등차수열 $a_n=a+(n-1)d$에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로

등차수열의 합은 첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값인데, 그 이유는 다음과 같다. $S_{n}$을 구할 때 첫째 항부터 $n$번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. $a_{n}=l$이라 하면, $l=a+(n-1)d$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 $a$와 $l$은 $n$에 관한 일차식이 되므로 $S_n$은 이차식이다. $l=a+(n-1)d$를 사용하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

[수열의 합 공식으로 유도하기]

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$\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a+(k-1)d\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (dk-d+a)\\&=\dfrac{n(n+1)}2d+(a-d)n\\&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n \\ &=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2}\\&=\dfrac{n( a+l )}{2}\end{aligned}$

여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다.


쉽게 말해 $S_n$을 미분한 뒤 $S_n$의 최고차항의 계수를 빼면 $a_n$이라는 것이다. 주의할 점은 $S_n$이 첫째 항부터 $n$번째 항까지 더한 값이며, 등차수열의 합이라는 것이다. $S_n$이 첫째 항부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 미분이 아니다. 미분이란 본디 접선의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라는 말이다.

등차수열의 합은 함수로도 생각할 수 있는데,

에 대하여 좌표평면에 $(n, \, S_n)$을 나타내면 다음과 같다.

파일:namu_등차수열_2_수정.png

각 점의 $n$좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, $S_n$좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 이차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 이차함수의 그래프 위에 있다. 이렇게 보면, 등차수열의 합은 자연수만을 정의역으로 하는 이차함수이다.

앞서 밝혔듯이 등차수열 $a_n=a+(n-1)d\;(ad\neq 0)$의 합은

이기 때문에 $S_n$은 상수항이 없는 이차식이다. 그렇다면 $S_n$이 상수항이 있는 이차식이면 어떨까?

전자와 후자를 비교해 보자. $a_n=S_n-S_{n-1}$이므로 뒤에 $+c$가 붙든 안 붙든 $a_n=2an+b-a$로 똑같은 값이 된다. 그러나 $S_0$이란 정의되지 않기 때문에 $\boldsymbol{a_n=S_n-S_{n-1}}$로 $\boldsymbol{a_1}$을 구할 수가 없고, $\boldsymbol{a_1=S_1}$임을 이용해야 한다. 따라서 $a_1$의 값은 $S_1$과 마찬가지로 $c$만큼의 차이가 나며, $a_2$부터는 모든 항이 같다.

다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.

$a_n$의 다른 모든 항은 같고 $a_1$만이 1의 차이가 나므로 $S_n$ 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.

앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 $S_n$은 이차식이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 $S_n$은 자연수만을 정의역으로 하는 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다.

공차가 양수이면 $S_n$의 최고차항의 계수도 양수이므로 그래프가 아래로 볼록하고, 공차가 음수이면 $S_n$의 최고차항의 계수도 음수이므로 그래프가 위로 볼록하다. 실수 전체를 정의역으로 하여 $S_n$의 그래프를 그리면, 최댓값 혹은 최솟값이 존재하는 경우에 한하여 $x$좌표가 자연수이고 꼭짓점과의 $y$좌표의 차가 가장 작은 점의 $y$좌표가 등차수열의 합의 최댓값 혹은 최솟값이 된다.