할선

원과 두 점에서 만나는 직선.

할선을 그었을 때 원 안쪽의 할선은 현, 원 테두리의 곡선은 호라고 하며, 원 위에 할선을 그으면 호와 현으로 둘러싸인 활꼴이 만들어지게 된다. 이때, 원에서 가장 큰 할선을 지름이라고 한다. 할선에서 수직이등분선을 그릴 때, 할선과 호의 거리가 가장 짧은 선분이 시가 된다.

접선과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 교점이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 찍찍 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. 접선 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 0으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다.

수학(2015)에서 원에 관련된 단원이 나오므로 자주 볼 수 있다. 기본적으로 판별식 D나 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 원의 반지름보다 커야 한다는 것을 이용한다.

현은 따로 $\mathrm{crd}\,x$라는 표기를 하기도 한다.

좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다.

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원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 가정하고, 그 원의 한 할선을 $x=k$ (단, $0<k<1$)라 하자. 이때 할선 오른쪽의 넓이는 부채꼴 $\rm AOB$의 넓이에서 이등변삼각형 $\rm AOB$의 넓이를 뺀 값과 같다. $\overline{\rm AO}$와 $\overline{\rm OC}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\cos \theta = k =$ ($\overline{\rm OC}$의 길이)가 성립하고, 부채꼴의 넓이는 $\dfrac{1 \cdot 1 \cdot 2\theta}{2} = \theta$이고, 이등변삼각형의 넓이는 $k \cdot$ ($\overline{\rm AB}$의 길이) $/\,2 = k \cdot \dfrac{2\,\mathrm{crd}\,\theta}{2} = k \sin \theta$이다. 따라서 할선 오른쪽 부분의 넓이는 $\theta - k \sin \theta$가 되는데, 여기서 $[\sin \theta]^2 + [\cos \theta]^2 = 1$이므로 $\sin \theta = \sqrt{1 - k^2}$이고, $k = \cos \theta$ 이므로 $\theta = \arccos k$이다. 따라서 식을 변형하면 $\arccos k - k\sqrt{1-k^2}$ 가 되며, 이는 할선으로 분할된 두 부분 중 크지 않은 부분의 넓이이다. 반대로 작지 않은 부분의 넓이는 원의 넓이에서 크지 않은 부분의 넓이를 뺀 것이므로 $\pi - \arccos k + k\sqrt{1-k^2}$ 이다.

반지름이 $a$ (단, $a>0$)인 원의 경우 넓이가 $a^2$배가 되고, 중심을 원점으로 잡는다면 $x=k$가 할선이 되기 위한 양수 $k$의 범위는 $(0,\,a)$가 되므로 $k$ 대신 원의 중심 $\rm O$에서 할선에 수직인 방향으로 직선을 그렸을 때 할선과의 교점을 $\rm A$, 할선 방향으로의 원과의 교점을 $\rm B$라 할 때 $\overline{\rm OA}$와 $\overline{\rm OB}$의 길이의 비를 이용하면 된다. 이때는 분할된 두 영역 중 크지 않은 부분의 넓이가 $a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2})$가 된다.

원의 중심을 지나는 할선으로 구분된 두 영역의 넓이는 서로 같은데, 상술한 식 $a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2})$에 k=0을 대입하면 넓이는 $\dfrac{a^2}{2} \pi$임을 알 수 있고, 이는 원의 넓이의 절반에 해당한다.

割線法 / Secant Method

방정식의 근을 찾는 방법 중 하나로, 여기서는 원 대신 해당 방정식의 곡선에 대한 할선, 즉 곡선과의 교점이 2개인 직선을 의미한다. 방정식을 $f(x)=0$의 꼴로 만든 후 $f(x)$의 함숫값 2개를 이용하며, 다음의 식으로 정의된다.

예를 들어 $y=x^2$와 $y=x$의 교점을 찾는 경우, 근을 찾기 위해서 $x^2-x=0$이라는 식을 이용할 수 있고 이를 $f(x)$라 하면 $f(x)=x^2-x=0$의 해를 구해야 한다. 함숫값을 $x_1=2,\,x_2=3$이라고 하면 다음과 같다. $n=7$ 정도까지 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n)$이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 실근은 $x=0$ 또는 $x=1$이지만 $x=0$에 수렴하므로 모든 실근을 찾으려면 함숫값을 다양하게 설정해야 한다.