직선

쉽게 말하자면 말 그대로 곧은 선이다. 직선은 무한히 얇고, 선분처럼 유한한 길이를 가진 것이 아닌 무한히 뻗어나가는 선으로, 한 점으로부터 양쪽으로, 같은 높이에 있는 점들의 무한집합이다. 점과 달리 방향의 개념이 있다.

힐베르트 공리계에서는 직선이 무정의 용어이다. 그 외의 무정의 용어로 점과 평면이 있다.

직선을 나타낼 때에는 직선 위의 임의의 두 점$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 잡고 직선 $\mathrm{AB}$, 혹은 직선 $\mathrm{BA}$라고 부른다. $\overleftrightarrow {\mathrm {AB}}$로 표기하거나 혹은 직선 통째로 $l$, $m$, $n$ 등 알파벳 소문자로 이름붙이는 경우도 있다.

이 문서에서는 해석기하학적인 직선의 성질을 분석하는 것을 중점으로 두며, 분석의 용의성을 위해 평면(2차원) 상의 직선으로 국한 시켜 주로 다룬다.

결론부터 말하자면, 방정식 $ax+by+c=0$ (단, $a, b, c$는 상수)은 좌표평면 상 직선을 기술한다.

[1] $ab \neq 0$일 경우
이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식

으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 $-{a}/{b}$, $y$절편이 $-{c}/{b}$인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.

이때, $-{a}/{b} > 0$이면 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = \infty$인 증가함수이고, $-{a}/{b} < 0$이면 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = -\infty$인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 특정한 점으로 수렴하지 않는다. 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.

[2] $a \neq 0$, $b=0$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 $(-c/a,\,y)$의 점의 집합이므로 $y$축과 평행하고, $x$절편이 $-c/a$인 직선을 나타낸다.

[3] $a = 0$, $b \neq 0$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 $(x,\,-b/c)$의 점의 집합이므로 $x$축과 평행하고, $y$절편이 $-\displaystyle \frac{c}{b}$인 직선을 나타낸다.

이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.

파일:namu_직선의방정식_개형.png

좌표평면 상 어떤 직선과 평행한 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '방향 벡터(Direction vector)'라 부른다.)

를 고려해보자. 이때, $a$, $b$는 각각 상수이고, 직선이 점 $(x_{0},\,y_{0})$를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 $(x, y)$과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터

는 위의 방향벡터와 평행하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

이때, $t$는 임의의 스칼라이다. 그렇다면, 각 축의 성분에 대해 아래의 결과를 얻는다.


[1] $ab \neq 0$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식

를 얻으므로 이것을 우리가 잘 아는 일차함수 형태

로 쓸 수 있고, 이것은 곧 기울기가 $b/a$, $y$절편이 $y_{0}-(b/a)x_{0}$인 직선을 기술함을 알 수 있다.

[2] $a \neq 0$, $b=0$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 $(x,\,y_{0})$의 점의 집합이므로 $x$축과 평행하고, $y$절편이 $y_{0}$인 직선을 나타낸다.

[3] $a = 0$, $b \neq 0$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 $(x_{0},\,y)$의 점의 집합이므로 $y$축과 평행하고, $x$절편이 $x_{0}$인 직선을 나타낸다.

좌표평면 상 어떤 직선과 직교하는 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '법선 벡터(Normal vector)'라 부른다.)

를 고려해보도록 하자. 이때, $a$, $b$는 각각 상수이고, 직선이 점 $(x_{0},\,y_{0})$를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 $(x, y)$과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터

로 쓸 수 있고, 법선 벡터와 직선 위의 벡터는 수직하므로 두 벡터의 내적 $\mathbf{u} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{l}=0$을 만족한다. 따라서

이것은 $c := -(ax_{0}+by_{0})$라 놓으면 $ax+by+c=0$ 꼴로 정리되므로 좌표평면 상 직선을 기술한다는 것을 알 수 있다.

이제부터 다음의 연립일차방정식

을 고려해보도록 하자. 연립일차방정식을 푼다는 것은 위의 두 방정식 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$을 모두 만족시키는 해 $x$, $y$를 찾는 것과 같다. 그런데 두 방정식 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$는 좌표평면 상 직선을 나타내고, 이것이 모두 동시에 만족하는 것은 두 직선의 교점 뿐이다. 따라서 연립일차방정식을 푼다는 것은, 두 직선(혹은 그 이상의 차원이라면 그것을 기술하는 도형)들의 교점을 찾는 것과 동치임을 얻는다.

좌표평면 위의 두 직선

을 고려하자. 이때, $a \sim c$, $a' \sim c'$는 각각 $abc \neq 0$, $a'b'c' \neq 0$인 상수이다. 이때, 상수의 조건에 따라 위 두 직선은 일차함수의 꼴

로 쓸 수 있다.

[1] 두 직선이 한 점에서 만날 조건
두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서

를 만족하면 된다.

[2] 두 직선이 평행할 조건
두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, $y$절편은 달라야 한다. 따라서

를 만족해야 한다.

[3] 두 직선이 일치할 조건
두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 $y$이 모두 같아야 한다. 따라서

를 만족해야 한다.

[4] 두 직선이 직교할 조건
평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로

으로 평행이동시킬 수 있다.

파일:namu_두 직선 직교조건.png

그리고, $x=1$의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.

이때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용 가능하므로

을 이용하면,

이고, 이것을 정리하면,

이고, 따라서 다음과 같은 결론을 얻는다:



이상의 결과를 정리하면 다음과 같다.

위에서 연립일차방정식을 푼다는 것은 곧, 직선의 교점을 찾는 것과 동치인 문제임을 논의했다. 그런데, 바로 윗문단에서 직선의 위치 관계에 대해 논의했다. 즉, 이 교점의 개수로 해의 개수는 결정되는데 이는 다음을 얻는다.

즉, 연립일차방정식의 해의 특성을 찾는 것은 좌표평면 상의 해당 도형의 교점의 개수를 판단하는 문제와 동치임을 얻는다.

좌표평면 상 직선 $ax+by+c=0$과 직선 외부의 점 $\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0})$을 고려하자. 또한 이 직선이 $\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1})$을 지난다고 생각해보자.

우선 주어진 직선의 법선 벡터는 $\mathbf{n}=(a,\,b)$가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 $\mathbf{p} := \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

를 고려하자.

그렇다면, 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 $\mathbf{p}$의 법선 벡터 $\mathbf{n}$ 위로의 스칼라 사영[2]이 될 것이다. 구하는 점과 직선 사이의 거리를 $s$라 놓으면,

의 결과를 얻는다.

이 문단에서는 좌표평면 위의 두 직선 $ax+by+c=0$과 $a'x+b'y+c'=0$의 교점을 지나는 도형의 방정식을 구해보도록 하자. 우선 두 직선의 교점을 $(\alpha,\,\beta)$라 놓고, 두 직선에 각각 점을 대입하면,

이 성립한다. 다음의 방정식을 고려해보자.

이 방정식은 $f(x,\,y)=0$ 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[3]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,

이고, 이것은 $k$의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[4] 따라서 이 도형의 방정식은 $k$의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 찾는 도형의 방정식임을 얻는다.

다만, 위의 형태의 경우 $a' x+b' y+c'=0$이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.

좌표평면 상 다음의 경우를 제외한 세 직선은 삼각형을 결정한다.(단, 두 직선 혹은 세 직선이 일치하는 경우는 제외한다.)

좌표평면 위의 두 직선

을 고려하자. 또한 각 직선의 기울기를 다음과 같이 두자

이때, $l_{1}$, $l_{2}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\theta_{1}$, $\theta_{2}$라 하면,

파일:namu_두 직선이 이루는 각.png

와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 $\theta$라 놓자. 그러면

이 되고, 이미 주어진 두 직선으로 부터

임을 알고있으므로

주의해야 할 것은 예각을 구하고 있다는 점이다. 그래서 절댓값을 씌웠다는 것에 주의해야 한다.

이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 $l_{1}$, $l_{2}$의 방향벡터를 각각 $\mathbf{u}_{1}$, $\mathbf{u}_{2}$라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 $\theta$라 놓으면 다음이 성립한다.

여기서도 절댓값을 씌운 이유는 예각을 찾고 있기 때문이다.

3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 기술하기 위해 방향벡터의 도입이 필수적이다.

3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 $\mathbf{u}$와 직선 위의 임의의 벡터 $\mathbf{l}$이 평행한 성질을 이용한다. 즉,

을 이용한다.(이것을 직선의 벡터 방정식이라 한다.) 이때, $t$는 임의의 스칼라이다. 이때,

임을 이용하자. 여기서 $\displaystyle \hat{\mathbf{x}}_{i}$는 $x_{i}$축의 단위 벡터, $p_{i}$는 직선 위의 임의의 점의 $x_{i}$축의 좌푯값이다. 따라서

으로 쓸 수 있다. 즉, 직선에 대하여

임을 알 수 있다.(이것을 직선의 매개변수 방정식이라 한다.) 만일 $a_{i} \neq 0$이라면, 직선의 방정식은

으로 쓸 수 있다. 예를 들어 3차원 상에서는

의 형태로 쓸 수 있고, 이것은 방향벡터가 $a_{x},\,a_{y},\,a_{z}$이고, 점 $(p_{x},\,p_{y},\,p_{z})$를 지나는 직선이다.

만약, $a_{j}=0$을 만족하는 $x_{j}$축 방향벡터의 성분이 있다면, $x_{j}$축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, $x_{j}=p_{j}$라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 $x_{j}$축 좌푯값은 $p_{j}$로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 $a_{z}=0$이라면, 직선의 방정식은

으로 기술되고 이것은 $(x,\,y,\,p_{z})$의 점을 집합으로 가지는 직선이므로 평면 $z=p_{z}$ 위의 직선임을 얻는다.

위 식을 다중선형형식(Multilinear form)이라고 하며, 차원과 무관하게 항상 직선을 그린다는 사실이 밝혀져 있다.