정팔각형

1. 개요2. 상세3. 공식

1. 개요 [편집]

正八角形 / regular octagon
모든 각 또는 모든 변이 같은 팔각형.

팔각형의 내각의 합은

1080^{\circ}

이므로 정팔각형의 한 각은

135^{\circ}

이다. 한 변의 길이가

a

인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가

\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a

인 직각삼각형을 깎아내면 한 변의 길이가

(\sqrt{2}-1)a

인 정팔각형을 만들 수 있다. 다시 말해, 한 변의 길이가

a

인 정팔각형을 만들기 위해서는 한 변의 길이가

(\sqrt{2}+1)a

인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가

\frac{\sqrt{2}}{2}a

인 직각삼각형을 깎아내면 된다.

이포각이

2\pi

를 넘어가기 때문에 정팔각형을 면으로 하는 정다포체가 존재하지 않는다. 그나마 일부 면이 정팔각형인 경우는 반정다면체, 존슨 다면체에서 찾아볼 수 있는데, 깎은 정육면체가 대표적이다.

쌍대는 닮음 관계의 자기 자신이다.

한 변의 길이를

a

라고 하면

$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=2\cot\dfrac{\pi}8a^2=2(1+\sqrt 2)a^2\approx 4.828a^2$
$\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=8a$

변심거리를

r

이라고 하면

$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=8\tan\dfrac{\pi}8r^2=8(\sqrt 2-1)r^2\approx 3.314r^2$

외접원의 반지름을

R

이라고 하면