쌍곡선 함수

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목차
1. 개요2. 상세3. 정의
3.1. 기본형3.2. 역수형3.3. 역함수
4. 관련 공식
4.1. 항등식4.2. 덧셈 정리4.3. 배각 공식4.4. 반각 공식4.5. 합을 곱으로 고치는 공식4.6. 곱을 합으로 고치는 공식4.7. 도함수
4.7.1. 쌍곡선 함수4.7.2. 역쌍곡선 함수
4.8. 역도함수
4.8.1. 쌍곡선 함수4.8.2. 역쌍곡선 함수4.8.3. 특수 적분
5. 복소수와 쌍곡선 함수6. 테일러 급수7. 기타8. 관련 문서

1. 개요 [편집]

hyperbolic function ・ 雙曲線 函數

쌍곡선 함수는 삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 둘 다 미분방정식, 함수 이론에서 쓰인다는 점도 비슷하다는 특징이 있다.

2. 상세 [편집]

삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,

{x=cos⁡ty=sin⁡t\begin{cases}x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases}

로 매개변수화를 하면

x2+y2=cos⁡2t+sin⁡2t=1x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1

이 되므로 xyxy평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다.

이와 유사한 방법으로

{x=cosh⁡ty=sinh⁡t\begin{cases}x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases}

로 매개변수화를 하면

x2−y2=cosh⁡2t−sinh⁡2t=1x^2-y^2=\cosh^2t-\sinh^2t=1

이 되므로 쌍곡선의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다.

그래프 상에서 삼각함수와 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.

파일:나무_삼각함수_쌍곡선함수_비교.png

삼각함수는 위의 (a)와 같이 중심이 원점인 단위원 x2+y2=1x^2+y^2=1위의 한 점에 대하여 부채꼴 OAP\mathrm{OAP}의 넓이가 θ/2\theta/2가 되게하는 점 P\mathrm{P}에 대하여 해당 점의 xx좌표와 yy좌표를 각각 cos⁡θ\cos{\theta}, sin⁡θ\sin{\theta}로 정의한다. 한편, 쌍곡선 함수는 위의 (b)와 같이 쌍곡선 x2−y2=1x^2-y^2=1과 그 위의 한 점 P\mathrm{P}에 대하여 원점과 P\mathrm{P}를 지나는 직선과 xx축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 a/2a/2가 될 때, 점 P\mathrm{P}에 대하여 해당 점의 xx좌표와 yy좌표를 각각 cosh⁡a\cosh{a}, sinh⁡a\sinh{a}로 정의한다.

이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.

3. 정의 [편집]

3.1. 기본형 [편집]

sinh⁡x≡ex−e−x2cosh⁡x≡ex+e−x2tanh⁡x≡sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\begin{aligned} \sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\ \cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\ \tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{aligned}

sinh⁡\sinh, cosh⁡\cosh, tanh⁡\tanh의 정식 명칭은 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 표현, 즉 'Hyperbolic sine', 'Hyperbolic cosine', 'Hyperbolic tangent'이다.[1] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다.
  • sinh⁡\sinh: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
  • cosh⁡\cosh: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
  • tanh⁡\tanh: 쌘(/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)

각 함수의 그래프는 아래와 같다.
파일:나무_sinhx_그래프_수정.png
파일:나무_coshx_그래프_수정.png
파일:나무_tanhx_그래프_수정.png
y=sinh⁡xy=\sinh x
y=cosh⁡xy=\cosh x
y=tanh⁡xy=\tanh x

위에서 볼 수 있듯, sinh⁡x\sinh x, tanh⁡x\tanh x는 기함수, cosh⁡x\cosh x는 우함수임을 알 수 있다. 또한, cosh⁡x\cosh x는 점 (0, 1)(0,\,1)을 지남을 알 수 있고, tanh⁡x\tanh x는 점근선으로 y=±1y = \pm 1을 가짐을 알 수 있다.

tanh⁡x\tanh x는 erf(x)\mathrm{erf}(x)와 개형이 비슷하다.[비교] 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!

cosh⁡x\cosh x는 현수선(Catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이 acosh⁡(xa)=a2(ex/a+e−x/a)\displaystyle \begin{aligned} a\cosh{\left( \frac{x}{a} \right)}=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} 이다. a=1a=1일 때 cosh⁡x\cosh x가 나온다.

3.2. 역수형 [편집]

이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.

coth⁡x≡1tanh⁡xsech x≡1cosh⁡xcsch x≡1sinh⁡x\begin{aligned} \coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\ \mathrm{sech}\,x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\ \mathrm{csch}\,x &\equiv \dfrac1{\sinh x} \end{aligned}

coth⁡\coth, sech\mathrm{sech}, csch\mathrm{csch}는 각각 'Hyperbolic cotangent', 'Hyperbolic secant', 'Hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다.
  • coth⁡\coth: 코쓰(/koʊθ/)
  • sech\mathrm{sech}: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
  • csch\mathrm{csch}: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)

sech\mathrm{sech}은 따로 '오일러 수열 함수'라고 하기도 한다. 또한 정규 분포 그래프와 개형이 비슷하다.

3.3. 역함수 [편집]

이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 x2−y2=1x^2-y^2=1과 직선 y=(tanh⁡a)xy=(\tanh a)x, xx축으로 둘러싸인 도형[3]의 넓이(area)가 aa라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 ar\rm ar-을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 arc\rm arc-를 붙인 틀린 표현[4]도 자주 볼 수 있다.

한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 arg\rm arg-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[5]

편의상 정의역은 실수라고 가정했다.

arsinh x=ln⁡(x+x2+1)arcosh x=ln⁡(x+x2−1)(x≥1)artanh x=12ln⁡1+x1−x(∣x∣<1)arcoth x=12ln⁡x+1x−1(∣x∣>1)arsech x=ln⁡(1x+1x2−1)(0<x≤1)arcsch x=ln⁡(1x+1x2+1)(x≠0)\begin{aligned} \mathrm{arsinh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \\ \mathrm{arcosh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} &&\qquad (x\ge1) \\ \mathrm{artanh}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{1+x}{1-x}} &&\qquad (|x|<1) \\ \mathrm{arcoth}\,x &= \dfrac12\ln{\dfrac{x+1}{x-1}} &&\qquad (|x|>1) \\ \mathrm{arsech}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr) &&\qquad (0<x \le 1) \\ \mathrm{arcsch}\,x &= \ln\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr) &&\qquad (x \ne 0) \end{aligned}


표기에 관련하여, arsinh\rm arsinh, arcosh\rm arcosh, artanh\rm artanh, arsech\rm arsech, arcsch\rm arcsch, arcoth\rm arcoth는 각각 sinh−1\rm sinh^{-1}, cosh−1\rm cosh^{-1}, tanh−1\rm tanh^{-1}, sech−1\rm sech^{-1}, csch−1\rm csch^{-1}, coth−1\rm coth^{-1}로 나타내기도 하나, 역삼각함수와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다.

4. 관련 공식 [편집]

4.1. 항등식 [편집]

cosh⁡2x−sinh⁡2x=11−tanh⁡2x=sech2 xcoth⁡2x−1=csch2 xsinh⁡ (−x)=−sinh⁡xcosh⁡ (−x)=cosh⁡xtanh⁡ (−x)=−tanh⁡xcoth⁡ (−x)=−coth⁡xsech (−x)=sech xcsch (−x)=−csch x\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\ 1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\ \coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\ \sinh\,(-x) &= -\sinh x \\ \cosh\,(-x) &= \cosh x \\ \tanh\,(-x) &= -\tanh x \\ \coth\,(-x) &= -\coth x \\ \mathrm{sech}\,(-x) &= \mathrm{sech}\,x \\ \mathrm{csch}\,(-x) &= -\mathrm{csch}\,x \end{aligned}

4.2. 덧셈 정리 [편집]

sinh⁡ (x±y)=sinh⁡xcosh⁡y±cosh⁡xsinh⁡ycosh⁡ (x±y)=cosh⁡xcosh⁡y±sinh⁡xsinh⁡ytanh⁡ (x±y)=tanh⁡x±tanh⁡y1±tanh⁡xtanh⁡y\begin{aligned} \sinh\,(x\pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\ \cosh\,(x\pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\ \tanh\,(x\pm y) &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y} \end{aligned}


이상은 모두 복부호동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.

4.3. 배각 공식 [편집]

sinh⁡2x=2sinh⁡xcosh⁡xcosh⁡2x=cosh⁡2x+sinh⁡2x=2sinh⁡2x+1=2cosh⁡2x−1tanh⁡2x=2tanh⁡x1+tanh⁡2x\begin{aligned} \sinh 2x &= 2\sinh x\cosh x \\ \cosh 2x &= \cosh^2x + \sinh^2x \\ &= 2\sinh^2x+1 \\ &= 2\cosh^2x-1 \\ \tanh 2x &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{aligned}

4.4. 반각 공식 [편집]

sinh⁡2x2=cosh⁡x−12cosh⁡2x2=cosh⁡x+12tanh⁡2x2=cosh⁡x−1cosh⁡x+1\begin{aligned} \sinh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\ \cosh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\ \tanh^2{\dfrac x2} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{aligned}

4.5. 합을 곱으로 고치는 공식 [편집]

sinh⁡x±sinh⁡y=2sinh⁡x±y2cosh⁡x∓y2cosh⁡x+cosh⁡y=2cosh⁡x+y2cosh⁡x−y2cosh⁡x−cosh⁡y=2sinh⁡x+y2sinh⁡x−y2\begin{aligned} \sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh\dfrac{x \pm y}2 \cosh\dfrac{x \mp y}2 \\ \cosh x+\cosh y &= 2 \cosh\dfrac{x+y}2 \cosh\dfrac{x-y}2 \\ \cosh x-\cosh y &= 2 \sinh\dfrac{x+y}2 \sinh\dfrac{x-y}2 \end{aligned}


이상은 모두 복부호동순이다.

4.6. 곱을 합으로 고치는 공식 [편집]

sinh⁡xcosh⁡y=12{sinh⁡ (x+y)+sinh⁡ (x−y)}cosh⁡xsinh⁡y=12{sinh⁡ (x+y)−sinh⁡ (x−y)}cosh⁡xcosh⁡y=12{cosh⁡ (x+y)+cosh⁡ (x−y)}sinh⁡xsinh⁡y=12{cosh⁡(x+y)−cosh⁡(x−y)}\begin{aligned} \sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)+\sinh\,(x-y)\} \\ \cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh\,(x+y)-\sinh\,(x-y)\} \\ \cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh\,(x+y)+\cosh\,(x-y)\} \\ \sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh(x+y)-\cosh(x-y)\} \\ \end{aligned}

4.7. 도함수 [편집]

4.7.1. 쌍곡선 함수 [편집]

ddxsinh⁡x=cosh⁡xddxcosh⁡x=sinh⁡xddxtanh⁡x=sech2 xddxcoth⁡x=−csch2 xddxsech x=−sech xtanh⁡xddxcsch x=−csch xcoth⁡x\displaystyle\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sinh x &= \cosh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \cosh x &= \sinh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \tanh x &= \mathrm{sech}^2\,x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \coth x &= -\mathrm{csch}^2\,x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{sech}\,x &= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{csch}\,x &= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\ \end{aligned}

4.7.2. 역쌍곡선 함수 [편집]

ddxarsinh x=1x2+1ddxarcosh x=1x2−1(x>1)ddxartanh x=11−x2(∣x∣<1)ddxarcoth x=11−x2(∣x∣>1)ddxarsech x=−1x1−x2(0<x<1)ddxarcsch x=−1∣x∣1+x2(x≠0)\displaystyle\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsinh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcosh}\,x &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{artanh}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcoth}\,x &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arsech}\,x &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{arcsch}\,x &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0) \end{aligned}


artanh x\mathrm{artanh}\,x와 arcoth x\mathrm{arcoth}\,x의 도함수는 형태는 같지만 xx의 범위가 다르다는 것에 주의하자.

4.8. 역도함수 [편집]

4.8.1. 쌍곡선 함수 [편집]

∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+C∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+C∫tanh⁡x dx=ln⁡ (cosh⁡x)+C∫coth⁡x dx=ln⁡∣sinh⁡x∣+C∫sech x dx=2arctan⁡ (ex)+C=arctan⁡ (sinh⁡x)+C=arcsin⁡ (tanh⁡x)+C=2arctan⁡(tanh⁡x2)+C=gd x+C∫csch x dx=ln⁡(tanh⁡x2)+C=ln⁡∣coth⁡x−csch x∣+C\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x + C \\ \int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x + C \\ \int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln\,(\cosh x) + C \\ \int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| + C \\ \int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan\,(e^x) + C \\ &= \arctan\,(\sinh x) + C \\ &= \arcsin\,(\tanh x) + C \\ &= 2\arctan\left(\tanh\frac x2\right) + C \\ &= \mathrm{gd}\,x + C \\ \int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln\left(\tanh\dfrac x2\right) + C \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| + C \\ \end{aligned}

위 식에서 gd x{\rm gd}\,x은 구데르만 함수(Gudermannian function)이고, CC는 적분 상수이다.

4.8.2. 역쌍곡선 함수 [편집]

∫arsinh x dx=x arsinh x−x2+1+C∫arcosh x dx=x arcosh x−x2−1+C(x≥1)∫artanh x dx=x artanh x+12ln⁡(1−x2)+C(∣x∣<1)∫arcoth x dx=x arcoth x+12ln⁡(x2−1)+C(∣x∣>1)∫arsech x dx=x arsech x+arcsin⁡x+C(0<x≤1)∫arcsch x dx=x arcsch x+arsinh x+C(x≠0)\displaystyle \begin{aligned} \int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} + C \\ \int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} + C &&\qquad (x\ge1) \\ \int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln (1 - x^2) + C &&\qquad (|x|<1) \\ \int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln (x^2-1 ) + C &&\qquad (|x|>1) \\ \int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x + C &&\qquad (0<x\le1) \\ \int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x + C &&\qquad (x\ne0) \end{aligned}


단, CC는 적분 상수이다.

4.8.3. 특수 적분 [편집]


∫sinh⁡∣x∣ dx=sgn(x) (cosh⁡x−1)−1+C∫cosh⁡∣x∣ dx=sinh⁡x+C∫tanh⁡∣x∣ dx=sgn(x) (ln⁡∘cosh⁡)(x)+C∫coth ∣x∣ dx=sgn(x) (ln⁡∘sinh⁡)(x)+C∫sech ∣x∣ dx=2 (arctan⁡∘tanh⁡)(x2)+C∫csch ∣x∣ dx=sgn(x) (ln⁡∘tanh⁡)(x2)+C∫∣sinh⁡x∣ dx=(sgn∘sinh⁡)(x)cosh⁡x+C∫∣cosh⁡x∣ dx=(sgn∘cosh⁡)(x)sinh⁡x+C∫∣tanh⁡x∣ dx=(sgn∘tanh⁡)(x) (ln⁡∘cosh⁡)(x)+C∫∣coth x∣ dx=(sgn∘coth)(x) (ln⁡∘sinh⁡)(x)+C∫∣sech x∣ dx=2 (sgn∘sech)(x) (arctan⁡∘tanh⁡)(x2)+C∫∣csch x∣ dx=(sgn∘csch)(x) (ln⁡∘tanh⁡)(x2)+C∫xtanh⁡x dx=−12 Li2(−e−2x)+x22+xln⁡(e−2x+1)+C∫x coth x dx=−12 Li2(e−2x)+x22+xln⁡(−e−2x+1)+C∫x sech x dx=i Li2(ie−x)−i Li2(−ie−x)+2x arccot(ex)+C∫x csch x dx=Li2(sinh⁡x−cosh⁡x)−Li2(e−x)−2x arcoth(ex)+C∫sinh⁡xx dx=Shi(x)+C∫cosh⁡xx dx=Chi(x)+C∫sinh⁡ex dx=Shi(ex)+C∫cosh⁡ex dx=Chi(ex)+C∫sinh⁡(x−1) dx=xsinh⁡(x−1)−Chi(x−1)+C∫cosh⁡(x−1) dx=xcosh⁡(x−1)−Shi(x−1)+C∫sinh⁡x2 dx=π4{erfi(x)−erf(x)}+C∫cosh⁡x2 dx=π4{erfi(x)+erf(x)}+C\displaystyle \begin{aligned} \int \sinh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 + C \\ \int \cosh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \sinh{x} + C \\ \int \tanh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\ \int \mathrm{coth}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\ \int \mathrm{sech}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \mathrm{csch}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \left|\sinh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x + C \\ \int \left|\cosh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x + C \\ \int \left|\tanh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) + C \\ \int \left|\mathrm{coth}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) + C \\ \int \left|\mathrm{sech}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= 2\,(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int \left|\mathrm{csch}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C \\ \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + C \\ \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + C \\ \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x &= i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + C \\ \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \\ \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(x) + C \\ \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(x) + C \\ \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(e^x) + C \\ \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(e^x) + C \\ \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + C \\ \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + C \\ \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)\} + C \\ \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)\} + C \end{aligned}

위 식에서 sgn(x)\mathrm{sgn}(x)는 부호 함수, Shi(x)\mathrm{Shi}(x), Chi(x)\mathrm{Chi}(x)는 각각 쌍곡선 사인 적분, 쌍곡선 코사인 적분, Li2(x)\mathrm{Li}_2(x)는 폴리로그함수, erf(x)\mathrm{erf}(x)는 오차함수, erfi(x)\mathrm{erfi}(x)는 복소오차함수, CC는 적분 상수이다.

5. 복소수와 쌍곡선 함수 [편집]

이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다.

우리는 다음을 안다.

sin⁡x=eix−e−ix2icos⁡x=eix+e−ix2\displaystyle \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad \qquad \cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

또한, 오일러 공식에 의해

eix=cos⁡x+isin⁡x\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}

임을 안다.

위를 이용하면 아래를 얻는다.

sinh⁡(ix)=isin⁡xcosh⁡(ix)=cos⁡xtanh⁡(ix)=itan⁡x\displaystyle \begin{aligned} \sinh{(ix)}&=i\sin{x} \\ \cosh{(ix)}&=\cos{x} \\ \tanh{(ix)}&=i\tan{x} \end{aligned}

마찬가지로,

−isin⁡(ix)=sinh⁡xcos⁡(ix)=cosh⁡x−itan⁡(ix)=tanh⁡x\displaystyle \begin{aligned} -i \sin{(ix)}&=\sinh{x} \\ \cos{(ix)}&=\cosh{x} \\ -i\tan{(ix)}&=\tanh{x} \end{aligned}

임을 얻는다.

6. 테일러 급수 [편집]

아래는 x=0x=0 주위에서 전개한 것이다.

sinh⁡x=x+x36+x5120+⋯=∑k=0∞x2k+1(2k+1)!cosh⁡x=1+x22+x424+⋯=∑k=0∞x2k(2k)!\displaystyle \begin{aligned} \sinh{x}&=x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ \cosh{x}&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{aligned}

7. 기타 [편집]

  • 쌍곡선 함수 중 cosh⁡x\cosh{x} 곡선을 현수선이라 한다.
    • 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
  • 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
  • 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.

8. 관련 문서 [편집]


[1] hyperbolic을 의미하는 h\rm h가 뒤쪽에 붙어있기 때문에 한국에서는 '싸인 하이퍼볼릭' 혹은 그냥 '싸인 에이치'라고 하기도 한다.[비교] 파일:namu_compare_erf_tanh_new.png[3] 즉 가로, 세로의 길이가 cosh⁡a\cosh a, sinh⁡a\sinh a인 직각삼각형의 넓이에서 ∫1cosh⁡ax2−1 dx\displaystyle\int_1^{\cosh a}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm dx를 뺀 값의 2배[4] 역삼각함수의 접두사 arc\rm arc-가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, arc\rm arc-라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.[5] 함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 arcosh\rm arcosh, arcoth\rm arcoth, arcsch\rm arcsch만 봐도 접두사를 arc\rm arc-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 h\rm h가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.


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