부족수

1. 개요2. 성질3. 100보다 작은 부족수 목록

1. 개요 [편집]

不足數
Deficient number

자연수

n

에 대하여,

n

의 모든 진약수(자신을 제외한 모든 약수)들의 합이

n

보다 작다면

n

을 부족수라고 한다.[1] 예를 들어서, 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고 진약수들의 합은 1+2+3+4+6+8+12=36인데 이 합은 24보다 크므로 24는 부족수가 아니지만, 25의 약수는 1, 5, 25이고 진약수들의 합은 1+5=6인데 이 합은 25보다 작으므로 25는 부족수이다.

수학적으로 표현하면, 다음 식을 만족하는 자연수

n

을 부족수라고 한다. 여기서

\sigma_1(n)

은 약수 함수(divisor function)이다.

n>\sigma_1(n)-n

[2]

2. 성질 [편집]

부족수는 무수히 많다. 모든 소수는 부족수인데, 소수는 무수히 많기 때문이다.
소수의 진약수는 1뿐이므로 모든 소수는 부족수다. 또한 소수의 거듭제곱인 수도 부족수다.
소인수가 2뿐인 모든 수, 즉 2의 거듭제곱수들은 진약수의 합이 자신보다 1만큼 작은 부족수다.[3]
소인수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의 7/8배(0.875배)보다 작은 부족수다.
945가 가장 작은 홀수 과잉수기 때문에 945보다 작은 모든 홀수는 부족수이다.
참고로, 홀수인 완전수의 존재는 현재 유명한 수학 난제이며, 만약에 존재한다면 최소한 $10^{1500}$ 보다 크다는 사실이 알려져 있다.
1의 자리가 1, 3, 7, 9이면서 81080보다 작은 자연수는(다시 말해, 81080보다 작으면서 10과 서로소인 자연수는) 모두 부족수이다. 이는 10과 서로소인 가장 작은 과잉수가 81081이기 때문.
30과 서로소인 자연수는 일상적인 수준에서 모두 부족수이다. 참고로 6과 서로소인 가장 작은 과잉수는 5,391,411,025[4]며, 30과 서로소인 가장 작은 과잉수는 무려 9,503,592,139,824,772,301,811,642,143[5][6]이다.
부족수 및 완전수의 진약수들도 부족수다.
1 또한 부족수이다. 1은 진약수가 존재하지 않기 때문에 진약수의 합이 0이기 때문이다.

3. 100보다 작은 부족수 목록 [편집]

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99

[1] 같은 말로,

n

의 모든 약수들의 합이

2n

보다 작다면

n

을 부족수라고 한다.[2]

\sigma_1(n)

은

n

의 모든 약수들의 합을 나타낸다. 즉, 이 식은

n

의 모든 약수들의 합에서

n

을 빼므로, 이는 곧 진약수들의 합이다.[3] 반대로, 진약수의 합이 자신보다 1만큼 큰 과잉수는 현재까지 밝혀지지 않았으며, 존재하는지 조차도 아직 미해결이다.[4] 53억 9141만 1025로, 소인수분해하면 5²×7×11×13×17×19×23×29이며, 진약수의 합은 5,407,897,775이다.[5] 9503자 5921해 3982경 4772조 3018억 1164만 2143[6] 소인수분해하면 7²×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73이고, 진약수의 합은 9,981,647,097,140,939,728,523,333,857이다.