geometric sequence(progression) · 等 比 數 列 2, 4, 8, 16, 32,
⋯ \cdots ⋯ 처럼 연속한 두 항의 비가 일정한
수열 을
등비수열 이라고 한다. 여기에서 연속한 두 항의 비를
공비 (common ratio,
公 比 )라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항을
a ( a ≠ 0 ) a \;(a \neq 0) a ( a = 0 ) , 공비를
r r r 로 표기한다. 첫째 항은
초항 (
初 項 )이라고도 하며, 문자
r r r 은 비(
比 )를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.
수열
{ a n } \{a_{n} \} { a n } 이 공비가
r r r 인 등비수열이면 임의의 자연수
k k k 에 대하여 다음이 성립한다.
a k + 1 a k = r \dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r a k a k + 1 = r 이에 따라 등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은
수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.
a n = a r n − 1 a_n=ar^{n-1} a n = a r n − 1 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의
일반항 을 정할 수 있다.
등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열
a n = a r n − 1 a_n=ar^{n-1} a n = a r n − 1 에 대하여 좌표평면에
( n , a n ) (n,\, a_n) ( n , a n ) 을 나타내면 다음과 같다.
파일:namu_등비수열_1_수정.png 각 점의
n n n 좌표는 몇 번째 항인지를,
a n a_n a n 좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은
지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은
자연수만을 정의역으로 하는 지수함수 이다.
이에 따라
a n a_n a n 에서 본디
n n n 은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이
n n n 이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.
등비수열
a n = 2 n a_n=2^n a n = 2 n 에 대하여
a 3 a_3 a 3 과
a 4 a_4 a 4 의 기하평균은
a 3.5 = 2 3.5 = 128 a_{3.5}=2^{3.5}=\sqrt{128} a 3.5 = 2 3.5 = 128 a 5 a_5 a 5 과
a 6 a_6 a 6 의 기하평균은
a 5.5 = 2 5.5 = 2048 a_{5.5}=2^{5.5}=\sqrt{2048} a 5.5 = 2 5.5 = 2048 위 두 값의 비는
a 8.5 a 5.5 = a 5.5 − 3.5 = 2 2 = 4 ( = 2048 128 ) \dfrac{a_{8.5}}{a_{5.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\biggl(=\sqrt {\dfrac{2048}{128}} \biggr) a 5.5 a 8.5 = a 5.5 − 3.5 = 2 2 = 4 ( = 128 2048 )
등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 과 임의의 음이 아닌 정수
m m m 에 대하여 다음이 성립한다.
a k + m − a k = r m a_{k+m}-a_k=r^m a k + m − a k = r m a k a l = a k ± m a l ∓ m a_ka_l=a_{k\pm m}a_{l\mp m} a k a l = a k ± m a l ∓ m (
복부호 동순 )
특히,
a k a k + 2 = a k + 1 2 a_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2 a k a k + 2 = a k + 1 2 (
등비중항 )
a 5 a 7 = 3 → a 1 a 2 ⋯ a 11 = ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 = { 3 11 = 243 3 ( a 6 = r a 5 > 0 ) − 3 11 = − 243 3 ( a 6 = r a 5 < 0 ) \begin{aligned}a_5a_7&=3\\\rightarrow\;a_1a_2\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\&=\begin{cases}\begin{aligned}\sqrt{3^{11}}&=243\sqrt 3\quad &(a_6=ra_5>0)\\-\sqrt{3^{11}}&=-243\sqrt 3 \quad&(a_6=ra_5<0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned} a 5 a 7 → a 1 a 2 ⋯ a 11 = 3 = ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 = { 3 11 − 3 11 = 243 3 = − 243 3 ( a 6 = r a 5 > 0 ) ( a 6 = r a 5 < 0 )
첫째 항이
a a a 이고 공비
r r r 이 1이 아닌 등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 에 대하여, 항을 소거하기 위하여
S n S_n S n 에서
r S n rS_n r S n 을 빼어 등비수열의 합을 구한다.
S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 2 + a r n − 1 − r S n = + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 2 + a r n − 1 + a r n ( 1 − r ) S n = a ( 1 − r n ) ∴ S n = a ( 1 − r n ) 1 − r = a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) \begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&\\ - & rS_{n}&=&&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\ \\ \end{matrix} \\ \therefore S_{n} =\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \quad (r \neq 1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; − S n r S n ( 1 − r ) S n = = = a a ( 1 − r n ) + + a r a r + + a r 2 a r 2 + + ⋯ ⋯ + + a r n − 2 a r n − 2 + + a r n − 1 a r n − 1 + a r n ∴ S n = 1 − r a ( 1 − r n ) = r − 1 a ( r n − 1 ) ( r = 1 )
한편, 위 공식에
r = 1 r=1 r = 1 을 대입하면
분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다 (
부정형 ). 공식을 유도하는 과정을 보더라도
r = 1 r=1 r = 1 . 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.
S n = a n ( r = 1 ) S_n=an \quad (r=1) S n = an ( r = 1 ) 로피탈의 정리 를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.
lim r → 1 a ( r n − 1 ) r − 1 = l ′ H o ^ p i t a l lim r → 1 a n r n − 1 1 = a n \displaystyle\lim_{r\to 1}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\overset{\sf l'H\hat{o}pital}{=}\lim_{r\to 1}\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an r → 1 lim r − 1 a ( r n − 1 ) = l ′ H o ^ pital r → 1 lim 1 an r n − 1 = an 등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 에 대하여
∑ ∣ a k ∣ \sum |a_k| ∑ ∣ a k ∣ 를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는
a 1 a_1 a 1 부터
a n a_n a n 까지의 합을 기준으로 설명한다.
등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 에 대하여
a 1 a_1 a 1 부터
a n a_n a n 까지의 항 중에서 양수 항들의 합을
P n P_n P n , 음수 항들의 합을
M n M_n M n 이라 하면
∑ k = 1 n a k = P n + M n = S n \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=P_n+M_n=S_n k = 1 ∑ n a k = P n + M n = S n ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = P n − M n = S n − 2 M n \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=P_n-M_n=S_n-2M_n k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = P n − M n = S n − 2 M n ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 P n = 2 ( S n − M n ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2P_n=2(S_n-M_n) k = 1 ∑ n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 P n = 2 ( S n − M n ) ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 M n = 2 ( S n − P n ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2M_n=2(S_n-P_n) k = 1 ∑ n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 M n = 2 ( S n − P n ) 이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면
M n = 0 M_n=0 M n = 0 , 음수이면
P n = 0 P_n=0 P n = 0 인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로
각주를 참고하라. 모든 항이 양수
첫째 항과 공비가 모두 양수
∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = k = 1 ∑ n a k ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = 2 ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=2\sum_{k=1}^n a_k k = 1 ∑ n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = 2 k = 1 ∑ n a k ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 0 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=0 k = 1 ∑ n { a k − ∣ a k ∣ } = 0 모든 항이 음수
첫째 항은 음수, 공비는 양수
∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = − ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=-\sum_{k=1}^n a_k k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = − k = 1 ∑ n a k ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 0 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=0 k = 1 ∑ n { a k + ∣ a k ∣ } = 0 ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = − 2 ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=-2\sum_{k=1}^n a_k k = 1 ∑ n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = − 2 k = 1 ∑ n a k 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수
첫째 항은 양수, 공비는 음수
∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 − 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}-2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = k = 1 ∑ ⌈ n /2 ⌉ a 2 k − 1 − 2 k = 1 ∑ ⌊ n /2 ⌋ a 2 k ( n = 1 ) ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} k = 1 ∑ n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ ⌈ n /2 ⌉ a 2 k − 1 ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) k = 1 ∑ n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ ⌊ n /2 ⌋ a 2 k ( n = 1 ) 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수
첫째 항과 공비가 모두 음수
∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k − 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}-2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} k = 1 ∑ n ∣ a k ∣ = k = 1 ∑ ⌊ n /2 ⌋ a 2 k − 2 k = 1 ∑ ⌈ n /2 ⌉ a 2 k − 1 ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) k = 1 ∑ n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ ⌊ n /2 ⌋ a 2 k ( n = 1 ) ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} k = 1 ∑ n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 k = 1 ∑ ⌈ n /2 ⌉ a 2 k − 1
결론부터 말하면, 등비수열의 합은
a r n + b ar^n+b a r n + b 의 꼴이며,
a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 이면 첫째 항부터,
a + b ≠ 0 a+b\neq 0 a + b = 0 이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.
우선 앞서 밝힌 등비수열
{ a n } \{a_n\} { a n } 의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.
S n = a ( r n − 1 ) r − 1 = a r − 1 ( r n − 1 ) = a r − 1 r n − a r − 1 \begin{aligned}S_n&=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\&=\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\&=\dfrac{a}{r-1}r^n-\dfrac{a}{r-1}\end{aligned} S n = r − 1 a ( r n − 1 ) = r − 1 a ( r n − 1 ) = r − 1 a r n − r − 1 a 여기에서
a / ( r − 1 ) {a}/{(r-1)} a / ( r − 1 ) 를
p p p 로 고쳐 쓰자.
S n = p r n − p S_n=pr^n-p S n = p r n − p a = p a=p a = p ,
b = − p b=-p b = − p 이고
a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 이 성립하므로,
{ a n } \{a_n\} { a n } 은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어
S n = 5 n − 1 S_n=5^n-1 S n = 5 n − 1 이면
a = 1 , b = − 1 a=1,\;b=-1 a = 1 , b = − 1 이므로
{ a n } \{a_n\} { a n } 은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면,
S n = 5 n − 2 S_n=5^n-2 S n = 5 n − 2 이면
a = 1 a=1 a = 1 ,
b = − 2 b=-2 b = − 2 이므로
{ a n } \{a_n\} { a n } 은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.
S n = 5 n − 1 S_n=5^n-{\color{red} 1} S n = 5 n − 1 a 1 ( = S 1 ) a_1(=S_1) a 1 ( = S 1 ) S n = 5 n − 2 S_n=5^n-{\color{red} 2} S n = 5 n − 2 a 1 ( = S 1 ) a_1(=S_1) a 1 ( = S 1 )
a n a_n a n 의 다른 모든 항은 같고
a 1 a_1 a 1 만이 1의 차이가 나므로
S n S_n S n 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.
주의할 것은
S n S_{\boldsymbol n} S n 이
a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 인지의 여부를 따질 때는
지수가 n \boldsymbol n n 는 점이다. 예로 다음
S n S_n S n 에 대하여, 각각
{ a n } \{a_n\} { a n } 이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는
k k k 의 값을 구해 보자.
S n = 4 n + 1 − k \boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k} S n = 4 n + 1 − k S n = 4 ⋅ 4 n − k S_n=4\cdot 4^n-k S n = 4 ⋅ 4 n − k 이므로
{ a n } \{a_n\} { a n } 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면
4 − k = 0 4-k=0 4 − k = 0 ,
k = 4 k=4 k = 4 S n = 4 n − 1 + k \boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k} S n = 4 n − 1 + k S n = 4 − 1 ⋅ 4 n + k S_n=4^{-1}\cdot 4^n+k S n = 4 − 1 ⋅ 4 n + k 이므로
{ a n } \{a_n\} { a n } 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면
1 4 + k = 0 \dfrac{1}{4}+k=0 4 1 + k = 0 ,
k = − 1 4 k=-\dfrac{1}{4} k = − 4 1
