합성수

composite number, 合成數

여러 소수(素數)들이 곱셈으로 합쳐져서 이루어진 수를 말한다. 즉, 임의의 자연수 $n$에 대해 1과 자기 자신을 제외한 다른 약수가 존재할 때, 이 수를 합성수라고 한다.


합성수가 중요한 이유에 대해서 예를 들자면 기수법이 있는데, 2 이상의 자연수 $p$에 대하여 $p$가 합성수이고 $p$의 약수가 $1$, $d_0$, $d_1$, ..., $p$일 때, $p$진법에서 어떤 수가 비순환소수(유한소수)가 되려면 그 수의 분모를 소인수분해했을 때 오직 p의 약수($1$, $d_0$, $d_1$, ..., $p$)로만 이루어져야 함이 알려져 있다. 왜냐하면, p의 약수로 이루어진 수는 곧바로 p의 거듭제곱꼴이 되는 수를 분모, 분자에 곱하게 되면 유한소수가 되기 때문이다. 그 예로, 인류가 사용하는 진법은 10진법이기 때문에, 분모가 2, 5로만 이루어져야 유한소수가 되는 건 자명한 사실.

로그에서 밑이나 진수가 합성수인 경우, 밑의 변환공식($\log_ab=\log_cb/\log_ca$)을 사용하면 밑이든 진수이든 합성수인 쪽이 덧셈이나 나눗셈으로 찢어지는 특징이 있다.

자연수 범위에서 최초의 합성수는 4이다. 또한 2를 제외한 모든 짝수는 합성수이다.[1] 최초의 홀수 합성수는 9이다.

합성수를 나타내는 집합 기호는 따로 없고[2], $\mathbb{P}^c \cap \mathbb{N} - \{1\}$처럼 표현해야 한다. 합성수들만 있는 집합은 소수 사막이라는 다른 이름으로 불리기도 한다.