합동식

漢: 合同式 / En: Congruence

정수 $a,b,m$에 대하여, $m\mid\left(a-b\right)$일 때[1], $a$는 법 $m$에 대하여 $b$와 합동이다[2]($a$ is congruent to $b$ modulo $m$)라고 한다. 이때, 기호로는 $a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right)$라고 쓴다. $m$를 합동의 법(modular)이라고 한다. 간단히 말해서, "$a$를 $m$으로 나눈 나머지는 $b$"라는 문장을 수식으로 표현한 것. [3][4]

일반적으로 나머지는 나누는 수보다 작지만, 합동식에서는 $b$값에 제한이 없다는 차이점은 존재한다. 다시 말해 $a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right)$에서 b에 들어갈 수 있는 수 자체는 많이 있고, 그중에 가장 작은 양의 정수가 초등학교 때 배운 '나머지'이다.

나머지라는 개념 자체가 초등학교 시절 분수 전에 배우던 것이어서 보통 마치 가르치기 어려운 개념을 회피하기 위해 만들어진 것 같아 보인다. 그러나 천만의 말씀. 나머지는 수학에서 가장 신비로운 개념 중 하나로, 덧셈이나 곱셈에만 적용되는 줄 알았던 연산개념이 신기하게도 나머지에서 완전 같은 방법으로 적용된다는 점을 깨닫게 되면 정수론에 대한 관심이 꽃피게 되는 일이 많다.

대학교의 정수론 수업이나 특정 수학 과목의 정수론 파트를 듣지 않는 한 배울 일이 없지만, KMO를 비롯한 수학 경시대회를 준비한다면 반드시 알아놔야 할 것 중 하나. 2차 잉여까지는 알 필요 없지만 아래 기본적인 성질은 모두 숙지하는 것이 좋다. 사실 경시대회 준비가 아니더라도 고등학교 때 이항정리 문제 중 합동식을 쓰면 편한 문제가 나오므로 알아놔서 절대 나쁠 건 없다.

일차합동식이란, 일차방정식과 비슷하게 미지수의 차수가 1인 합동식을 의미한다. 수식으로 간단하게 표현하면 $ax\equiv b\left(\text{mod}\,m\right)$인 형태인 모든 합동식이 일차합동식이다. 일차방정식에 해가 존재할 조건이 있듯이, 일차합동식에도 해가 존재할 조건이 있다. $d=\gcd\left(a,m\right)$[7]라 했을 때, $d\nmid b$이면[8] 합동식은 정수해를 갖지 않고, $d\mid b$[9]이면 법 $m$에 대해 정확히 $d$개의 서로 다른 해를 갖게된다. 해의 존재성에 대한 증명은 다음과 같다.

크게 디오판토스 방정식, 유클리드 호제법, 잉여역수를 이용하는 방법으로 나눌 수 있다. 여기서는 다음 예제의 해법을 소개한다.

적당한 정수 $y$에 대하여 $3x+4y=7$이다. 여기서 $x_0=1,y_0=1$은 한 해(특이해)임을 쉽게 알 수 있다. $\gcd\left(3,4\right)=1$이므로 일반해는 $x=1+4t,\quad y=1-3t$이다. 우리가 구하는 것은 $x$와 관련된 것이므로 $x\equiv1\left(\text{mod}\,4\right)$가 해이다.

$\gcd\left(3,4\right)=1$이므로, 적당한 정수 $a,b$에 대해 $3a+4b=1$이다.[11] 실제로, $\left(-1\right)\cdot3+1\cdot4=1$이다. 이 사실은 우리에게 $1\cdot x$를 얻기 위하여 $x$의 계수를 바꿀 수 있음을 암시한다. 즉, 아래와 같이 된다.
$4x\equiv0\left(\text{mod}\,4\right)\quad\cdots\left(1\right)$
$3x\equiv7\left(\text{mod}\,4\right)\quad\cdots\left(2\right)$

그리고, (1) 식에서 (2)식을 빼면, x ≡ -7 (mod 4) 가 된다. -7 + 2*4 = 1 이므로 -7 ≡ 1 (mod 4) 이기에, 위 식을 x ≡ 1 (mod 4) 로 써도 된다.

그래서 답은 $x\equiv1\left(\text{mod}\,4\right)$이다.

법 4에 대한 곱셈표는 아래와 같다.[12]

위 표에서 보듯이 $3\cdot3\equiv1\left(\text{mod}\,4\right)$이다.

원래 식 $3x\equiv7\left(\text{mod}\,4\right)$ 의 양변에 3을 곱하면 $3 \cdot 3x\equiv 3 \cdot 7\left(\text{mod}\,4\right)$ 이 되는데, $3\cdot3\equiv1\left(\text{mod}\,4\right)$이고, $21\equiv1\left(\text{mod}\,4\right)$ 이므로 이를 정리하면

$x\equiv 1\left(\text{mod}\,4\right)$ 이 나온다.

합동식을 다룰줄 안다면 여러 경이로운 문제들의 답을 생각보다 쉽게 찾을 수 있다. 연습해보자!

$7^{242}$의 10과 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[힌트]

$7^4$

[풀이]

$7^4 = 2401 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 100) \rightarrow (7^4)^{60} \equiv 1^{60} \,(\text{mod} \, 100) \rightarrow 7^{240} \equiv 1 \, (\text{mod} \, 100)$
$7^{242} = 7^{240} \times 7^2$이니, $7^{242} \equiv 7^2 \, (\text{mod} \, 100)$.
그러므로 답은 $49$이다.

$7^{7^{777}}$의 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[풀이]

$7 \equiv -1 \, (\text{mod} \, 4) \, \rightarrow \, 7^{777} \equiv (-1)^{777} \, (\text{mod} \, 4) \rightarrow 7^{777} \equiv -1 \,(\text{mod} \, 4)$.
그렇다면, $7^{7^{777}}=7^{4n+(4-1)}=7^{4n+3}$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.
$7^4 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 10)$이므로 $7^{4n} \equiv 1 \, (\text{mod} \, 10)$다. 따라서 $7^{4n+3} \equiv 7^3 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 10)$이다.
답은 $3$이다.

$\displaystyle 1^2 + 2^2 + ...$ $98^2 + 99^2$ 의 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[풀이]

$\displaystyle 1^2 + 2^2 + ...$ $98^2 + 99^2 \equiv n\, (\text{mod} \, 10)$이라 하자.
$1^2 \equiv 11^2 \equiv \, ... \, \equiv 91^2 \,(\text{mod}\,10)$이며, $2^2 \equiv 12^2 \equiv \, ... \, \equiv 92^2 \,(\text{mod}\,10)$등등 이니까
$1^2+2^2+...\,9^2\equiv 11^2+12^2+...\,19^2\equiv...\equiv 91^2+92^2+...\,99^2\equiv \frac{n}{10}\,(\text{mod}\,10)$다.
따라서 $n$은 $10$의 배수가 되는것이니, 답은 $0$이다.

합동식 $a \equiv b \, (\text{mod} \, m)$에 대하여 $a$와 $m$이 서로소일 때, $b$와 $m$이 서로소임을 보이시오.

[풀이]

먼저 $b$와 $m$이 서로소가 아니라고 가정해보자. 그렇다면 $a \equiv cd \, (\text{mod} \, cn)$이 성립한다 (단, $c > 1$). 그렇다면 $cn\,|\,(a - cd) \, \rightarrow cn\,|\,c(\frac{a}{c}-d) \, \rightarrow \, n \, | \, (\frac{a}{c}-d)$ 다. 이게 성립하려면 $a$는 $c$의 배수여야하니, $a$와 $m$도 서로소가 아니다.
여기까지 우리가 증명한 건 "$b$와 $m$이 서로소가 아니라면, $a$와 $m$도 서로소가 아니다"인데, 이건 예제에 나오는 명제의 대우다. 따라서 예제의 명제 "$a$와 $m$이 서로소라면, $b$와 $m$역시 서로소다"도 참이다.