서로소

중학교 1학년 때 배우는 수학 개념. 여러 개의 수들 사이에서 $1$이외의 공약수가 없음을 이르는 말이다. 따라서 두 수의 공약수가 $1$밖에 없다고 나타낼 수도 있다. [1]

중1 과정의 유리수의 정의에서도 써먹고, 고등학교 단골 증명 문제인 $\sqrt{2}$는 무리수임을 증명할 때도 쓰는 등 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이것을 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다.[2]

서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 쉬운 예를 하나 들어보자. 집합 $D_{n}$을 $n$의 양의 약수의 집합이라 하자. 즉

집합 $D_{128}$는 $128 = 2^7$의 약수의 집합,
집합 $D_{729}$는 $729 = 3^6$의 약수의 집합,
집합 $D_{15625}$는 $15625 = 5^6$의 약수의 집합이 된다.

세 집합을 원소나열법으로 나타내면

$D_{128} = \left\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128\right\}$
$D_{729} = \left\{1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\right\}$
$D_{15625} = \left\{1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625\right\}$
이 되고,

여기서 교집합 $D_{128}\cap D_{729}\cap D_{15625}=\left\{1\right\}$이다.

위의 예처럼 집합 $D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}\cap ... =\left\{1\right\}$이면 서로소 당첨. 벤 다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, $1$은 모든 자연수의 공약수이고, 따라서 모든 자연수의 약수의 집합에 빠짐없이 들어간다. 왜냐하면 곱셈의 항등원이 $1$이기 때문이다.

당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다. 짝수끼리는 기본적으로 공약수 $2$를 갖고 있기 때문이다.
단, 홀수끼리는 서로소일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 홀수끼리는 기본적으로 공약수 $1$을 갖고 있고, 경우에 따라서는 $1$ 이외의 공약수를 더 갖고 있을 수도 있기 때문이다.

유리수의 정의는 $m\over n$($m$과 $n$은 서로소인 정수, $n \neq 0$)의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 $m$과 $n$은 $1$을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의. 이 성질을 가지고 $\sqrt{2}$가 무리수임을 증명할 수 있다. 증명 방법은 해당 문서에 나와있으니 참조.

소수도 서로소로 정의할 수 있는데, $m$이 소수라는 사실은 $0<n<m$를 만족하는 임의의 정수 $n$에 대해서 $n$과 $m$이 서로소라는 것과 같다.

수학 걸이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3][4]

서로소를 잘만 이용하면 피타고라스 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼 수 있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]

어떤 집합들의 교집합이 공집합일 때, 그 집합들을 서로소라고 한다. 어떤 사건들에 해당하는 집합들이 서로소이면, 그 사건들은 배반사건이다.