반군(수학)

집합 $G$ 위에 닫혀있는 이항연산 $* : G\times G \to G$[1]이 결합법칙 $a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$ 를 만족하면, 순서쌍 $\left(G,*\right)$를 반군(半群, Semigroup)이라 부른다. 여기서 결합법칙마저 빠지면 마그마(Magma)가 된다.

(예) 양의 정수와 덧셈은 반군을 이룬다. 여기서 ($0$을 자연수로 본다면) 양의 정수의 집합 내에 덧셈의 항등원 $0$이 없음을 알 수 있다.

다만 반군만으로는 쓸만한 성질이 없기 때문에, 대개는 항등원 $e\in G$[2]가 존재함을 추가로 가정해, $\left(G,*\right)$를 모노이드(monoid)로 만들어 다루기도 한다.

대표적인 반군으로 소수 $\mathbb P$, 자연수 $\mathbb N$, 무리수만의 집합 $\mathbb I$가 있다.