모노이드

1. 개요2. 정의3. 자유 모노이드(free monoid)4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)

Monoid

1. 개요 [편집]

대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.

2. 정의 [편집]

M

과 그 위의 이항연산

*

[1]에 대해,

\left(M,*, e\right)

가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.

(결합법칙; associativity) 임의의 $a,b,c\in M$ 에 대해, $a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$

(항등원의 존재; identity) 적절한 $e\in M$ 이 존재하여[2], 임의의 $a$ 에 대해, $a*e=a=e*a$

이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해(

0

을 포함하는)

\mathbb{N}

이다. 곱셈에 대해서

\mathbb{Z}

도 군이 아닌 모노이드이다.

3. 자유 모노이드(free monoid) [편집]

자유 모노이드는 집합

X

위에서 정의된다.집합

X

에 대한 자유 모노이드

F\left(X\right)

[3]는

X

의 원소들로 이루어진 단어[4]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열

e=\left[\right]

이다. 예를 들어,

X=\left\{a,b\right\}

에 대해, 다음이 성립한다.

$\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right)$
$\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right]$

\left|X\right|>1

이면

F\left(X\right)

는 비가환이고,

\left|X\right|=1

이면

F\left(X\right)=N

,

\left|X\right|=0

이면

F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\}

이다.

4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension) [편집]

모노이드

M

에 대해,

M^{2}

위의 동치류

\equiv

를 다음과 같이 정의한다.

TFAE
$\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right)$
$\exists m\in M aym=bxm$ [5]

그리고

~

에 의한

\left(a,b\right)

의 동치류를

\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv

라 하자. 이 위의 연산

\cdot

을

\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right]

라 주면, 이는 결합적이고

[e,e]

이 항등원으로 가지며,

[a,b]

의 역원은

[b,a]

이다. 즉,

\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right)

은 군이다.

[1] *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서

e

를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.[3] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다. [4] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다.

\displaystyle \left[\cdot\right]

[5] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다.

m

의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.