구(도형)

최근 수정 시각: (5년 전)
분류
목차
1. 개요2. 상세
2.1. 구의 특징2.2. 구의 방정식
2.2.1. 양함수 형태2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현
2.2.2.1. 매개변수 방정식2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식
2.3. 구의 겉넓이와 부피
2.3.1. 겉넓이2.3.2. 부피
2.4. 구와 도형
2.4.1. 구와 접선2.4.2. 접평면의 방정식2.4.3. 구와 구
2.4.3.1. 두 구의 위치 관계2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식
3. 확장4. 기타5. 관련 문서

1. 개요 [편집]

파일:namu_구_개요.png
중심이 O\mathbf{O}이고, 반지름이 r\boldsymbol{r}인 구

구(Sphere, 球)는 3차원 공간 상 한 정점을 기준으로 거리가 같은 점들의 집합을 나타내는 도형이다. 즉, 원의 3차원 버전이라 생각하면 된다.

2. 상세 [편집]

2.1. 구의 특징 [편집]

  • 구의 한 정점으로 부터 구의 표면까지의 선분을 반지름이라 한다.
  • 구의 한 표면으로 부터 한 표면까지 잇는 선분 중 중심을 지나는 선분을 지름이라 하며, 지름의 길이는 반지름 길이의 2배이다.
  • 구는 한 축을 회전축으로 하여 반원을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체이다.
  • 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 원이다.
    • 단면 중 가장 큰 원(구의 반지름을 갖는 단면)을 대원(Great circle)이라고 한다.
  • 중심입체각은 4π4\pi이다.
  • 곡률은 구 위의 모든 점에 대해서 r−2r^{-2}이다. 즉, 전개도를 만들 수 없다.(평면으로 축퇴시킬 수 없다.)

2.2. 구의 방정식 [편집]

3차원 직교 좌표계에서 중심이 O(x0, y0, z0)\mathrm{O}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})이고, 반지름의 길이가 rr인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 r=(x, y, z)\mathbf{r}=(x,\,y,\,z)라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 r0=(x0, y0, z0)\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 r−r0\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}를 고려할 때

∣r−r0∣=r\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r

이 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면

∣r−r0∣2=(r−r0)⋅(r−r0)=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned}

이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}

이때, 이와 같은 꼴을 구의 방정식의 표준형이라 하며, 표준형을 정리한 방정식은

x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0

꼴로 나타나고, 이를 구의 방정식의 일반형이라 한다.

구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.

(x−A2)2+(y−B2)2+(z−C2)2=[A2+B2+C2−4D2]2\displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y-\frac{B}{2} \right)^{2}+\left( z-\frac{C}{2} \right)^{2}=\left[ \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} \right]^{2}

즉, 중심이 (A/2, B/2, C/2)(A/2,\,B/2,\,C/2)이고, 반지름 A2+B2+C2−4D/2\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2인 구의 방정식임을 알 수 있다.

2.2.1. 양함수 형태 [편집]

위의 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 z=f(x, y)z=f(x,\,y)의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.

f(x, y)=±r2−[(x−x0)2+(y−y0)2]+z0\displaystyle f(x,\,y)=\pm \sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0}

이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.

부호가 양인 것은 평면 z=z0z=z_{0}를 기준으로 z0≤z≤z0+r z_{0} \leq z \leq z_{0}+r의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 z0−r≤z<z0z_{0}-r\leq z < z_{0}에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다. 아래의 그림을 참고하라.

파일:namu_구_상반구_하반구.svg

원의 방정식과 마찬가지로 f(x, y, z)=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−r2f(x,\,y,\,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2} 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.

2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현 [편집]

2.2.2.1. 매개변수 방정식 [편집]
3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi, 0≤ϕ≤2π0 \leq \phi \leq 2\pi에 대하여 중심이 (x0, y0, z0)(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})에 위치하고, 반지름이 rr인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.

{x=rsin⁡θcos⁡ϕ+x0y=rsin⁡θsin⁡ϕ+y0z=rcos⁡θ+z0\displaystyle \left\{\begin{matrix} \begin{aligned} x&=r\sin{\theta}\cos{\phi}+x_{0}\\ y&=r\sin{\theta}\sin{\phi}+y_{0}\\ z&=r \cos{\theta}+z_{0} \end{aligned} \end{matrix}\right.

2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식 [편집]
3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고, 반지름이 r0r_{0}인 구의 방정식은

r=r0\displaystyle r=r_{0}

로 나타낼 수 있다.

2.3. 구의 겉넓이와 부피 [편집]

2.3.1. 겉넓이 [편집]

모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 rr이고, 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.

해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 통하여

∫02π∫0πr2sin⁡θ dθdϕ=4πr2\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} r^{2} \sin{\theta} \,d\theta d\phi=4\pi r^{2}

으로 구할 수 있다.

2.3.2. 부피 [편집]

모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 rr이고, 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.

해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 통하여

∫02π∫0π∫0rr′2sin⁡θ dr′dθdϕ=43πr3\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} r'^{2} \sin{\theta} \,dr'd\theta d\phi=\frac{4}{3}\pi r^{3}

으로 구할 수 있다.

역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 2/32/3임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.

23(2r⋅πr2)=43πr3\dfrac23 ( 2r \cdot \pi r^2 ) =\dfrac{4}{3}\pi r^{3}

2.4. 구와 도형 [편집]

2.4.1. 구와 접선 [편집]

구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 원(도형) 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다.

파일:파일-나무_구_3_NEW.png

이상의 결과를 이용하면, 중심이 C\mathrm{C}이고, 반지름의 길이가 rr인 구 외부의 한 점 P\mathrm{P}에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 Q\mathrm{Q}일 때, 삼각형 PQC\mathrm{PQC}는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 PQ‾\overline{\mathrm{PQ}}는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.

PQ‾=(r2−PC‾2)1/2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=(r^2-{\overline{\mathrm{PC} }}^{2})^{1/2}

또한 점 Q\mathrm{Q}는 구 위의 원을 그린다. PQC\mathrm{PQC}이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 Q\mathrm{Q}는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.

파일:나무_구_4_수정.png

(a)는 3차원 상에서 점 P\mathrm{P}에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 Q\mathrm{Q}의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.

2.4.2. 접평면의 방정식 [편집]

접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.

델(연산자) 문서로 부터 w=f(x, y, z)w=f(x,\,y,\,z)의 4차원 함수의 등위곡면 k=f(x, y, z)k=f(x,\,y,\,z)의 표면에 수직한 벡터는 ff의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.

공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.

좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 rr인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 (x1, y1, z1)(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})위의 접평면의 법선벡터는 f(x, y, z)=x2+y2+z2=r2f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2}로 놓음으로써

∇f(x1, y1, z1)=(2x1, 2y1, 2z1)\displaystyle \boldsymbol{\nabla}f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})=(2x_{1},\,2y_{1},\,2z_{1})

이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 (x1, y1, z1)(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로

x1(x−x1)+y1(y−y1)+z1(z−z1)=0\displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0

이것을 정리하면,

x1x+y1y+z1z=r2\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2}

따라서 구의 중심이 (x0, y0, z0)(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})이고, 이때, 점 (x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}) \to (x_{2},\,y_{2},\,z_{2}) 위의 접평면의 방정식을 구한다면,

(x2−x0)(x−x0)+(y2−y0)(y−y0)+(z2−z0)(z−z0)=r2\displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2}

으로 쓸 수 있다.

2.4.3. 구와 구 [편집]

2.4.3.1. 두 구의 위치 관계 [편집]
좌표공간 상 중심이 각각 O\mathrm{O}, O′\mathrm{O'}이고, 반지름의 길이가 각각 rr, r′r'(r≥r′r \geq r')인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 OO′‾≡d\overline{\mathrm{OO'}} \equiv d라 놓을 때, 다음이 성립한다.
2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식 [편집]
좌표평면 위에서 두 구 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0과 x2+y2+z2+A′x+B′y+C′z+D′=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 (α, β, γ)(\alpha,\,\beta,\,\gamma)라 놓으면, 교점에서

α2+β2+γ2+Aα+Bβ+Cγ+D=0α2+β2+γ2+A′α+B′β+C′γ+D′=0\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D'&=0 \end{aligned}

이 성립한다. 다음과 같은 도형

(x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D)+k(x2+y2+z2+A′x+B′y+C′z+D′)=0\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 (단, k≠1k \neq 1)

을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구글 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,

(α2+β2+γ2+Aα+Bβ+Cγ+D)+k(α2+β2+γ2+A′α+B′β+C′γ+D′)=0\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D')=0

이고, 이는 임의의 kk의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 kk의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.

참고적으로 k=−1k=-1일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.
2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식 [편집]
교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국

(x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D)+k(x2+y2+z2+A′x+B′y+C′z+D′)=0\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0

가 두 구 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0, x2+y2+z2+A′x+B′y+C′z+D′=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 k=−1k=-1을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라

(x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D)−(x2+y2+z2+A′x+B′y+C′z+D′)=0\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0

이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

(A−A′)x+(B−B′)y+(C−C′)z+(D−D′)=0\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0

3. 확장 [편집]

  • n-n \text{-}초구는 n+1n+1차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 nn차원의 곡면이다. n=2n=2일 때를 특별히 "구"로 부른다.
    • 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, n-n \text{-}구의 매개변수화에서는 nn개의 매개변수가 존재하므로 차원은 nn이 된다.
    • n-n \text{-}구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, Γ(x)\Gamma(x)는 감마함수이다.)
      • 겉넓이: 2π(n+1)/2Γ(n+12)rn\displaystyle \frac{2{\pi}^{{(n+1)}/{2}} }{\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n}
      • 부피: π(n+1)/2n+12Γ(n+12)rn+1\displaystyle \frac{{\pi}^{(n+1)/2 }}{\dfrac{n+1}{2}\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n+1}

4. 기타 [편집]

  • 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 기하와 벡터 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
  • 위상수학에서는 다면체와 원기둥, 원뿔을 구와 '똑같은 것(homeomorphism)'으로 취급한다. 위상수학에서는 거리라는 것이 없다고 보기 때문에 결론적으로 구와 차이가 없어진다.[1]
  • 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 구기 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 球(구) 라는 한자가 공이라는 뜻이다.
  • 구와 관련된 기묘한 정리로 바나흐-타르스키 역설이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 두 개의 구로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 부피를 구할 수 없는 조각이 있다는 정리이다.

5. 관련 문서 [편집]

[1] 같은 원리로 손잡이 달린 컵 = 도넛(원환체와 위상동형)이 예시로 많이 언급된다.

라이선스를 별도로 명시하지 않은 문서는 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다.
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

문서의 기여자는 역사 탭에서 확인할 수 있습니다.
접두어의 N: - 나무위키 사용자, R: - 리그베다 위키의 사용자를 뜻합니다.
자세한 사항은 나무위키에서 동일한 문서의 역사를 참고하시기 바랍니다.