잘 정의됨

0으로 나누기, 0의 0제곱: 잘 정의되지 않은 대상의 대표적 사례.

$f : \mathbb Q \mapsto \mathbb Z$를 $f({b \over a}) = a+b$(이 때, $a, b$는 정수)는 well-defined 되지 않은 함수이다. $f({1 \over 2}) = 3 \neq 6 = f({2 \over 4})$이기 때문이다. 단, $\gcd\left(a,b\right)=1$이라는 조건을 추가하면 이는 잘 정의된 함수이다.

정수 $n$에 대해 $\bar {n}$를 "$n$과 $10$으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합"이라고 정의할 때[1], $f(\bar {n}) = n$ 라 한다면 $f$는 잘 정의되지 않은 함수이다. $\bar {1} = \bar {11}$ 인데 $f(\bar {1}) = 1 \neq 11 = f(\bar {11})$이기 때문. 만약 $f(\bar {n}) = n\mod 10$처럼 정의한다면 잘 정의된다. $\bar {n}$ 표기 때문에 처음 보면 헷갈릴 수 있으니 주의. 이런 표기를 쓸 때는 항상 잘 정의됨을 생각해야 한다.

$f : \mathbb P(R^{n}) \mapsto \mathbb Z$를 $f(U) = \begin{cases} 1, & U\ \mathsf{is\ open} \\ -1, & U\ \mathsf{is\ closed} \\ 0, & \mathsf{else} \end{cases}$라 정의하면, $\emptyset$이나 전체집합, 이산 공간의 경우 임의의 개집합은 열린 집합이면서 닫힌 집합이므로 $f$는 잘 정의되지 않았다.

유계함수 $f : \mathbb R \mapsto \mathbb R$에 대해 $m(f) =$"$f$의 최솟값"라 하면 $m$은 잘 정의되지 않은 함수이다. $f$의 최솟값이 존재하지 않을 수도 있기 때문. $m(f) = \inf(f(\mathbb R))$과 같이 정의하면 잘 정의된다.

벡터 공간 $V$의 차원을 "기저의 원소의 개수(또는 cardinality)"라고 정의했을 때도, 잘 정의되었는지 확인해야 한다. $V$의 기저는 여러 개 있을 수 있고, 그 중 원소의 개수가 다른 것이 있을 수 있기 때문. 물론 이 경우엔 기저들의 원소의 개수가 같음을 증명할 수 있다.

심지어는 함수의 합성에서도 '잘 정의되지 않는' 경우가 생기는데, 실수 범위에서 $\{-1,0,1\}$을 공역으로 갖는 부호 함수 $\rm sgn$와 $\{-1,0,1\}$을 정의역으로 갖지 않는 로그 적분 함수 $\rm li$를 합성한 꼴 중 $\rm (li \circ sgn)$은 잘 정의되지 않았다.

새로운 연산 $\heartsuit$를 정의했을 때초등학교 때 많이 봤다, $a\heartsuit b\heartsuit c$ 와 같은 표기를 쓰기 전에는 항상 $\heartsuit$가 결합법칙을 만족하는지 확인해봐야 한다. 예를 들어 $a\heartsuit b = 2a+b$라 하면 $((1\heartsuit 2)\heartsuit 3) \neq (1\heartsuit (2\heartsuit 3))$가 되므로 결합법칙을 만족하지 않아, $a\heartsuit b\heartsuit c$의 표기를 쓸 수 없다. 또한 이는 $a/b/c$ 같은 표기를 쓸 수 없는 이유이기도 하다. [2]

잘 정의된 표기의 중요성을 간과했을 때 벌어지는 재밌는 일 중 하나로, "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 큰 것"을 생각해보자. 즉, 존재하는 모든 것들에 대해 "가장 짧은 표현"을 생각해보고, 그것의 단어의 개수가 가장 많은 것을 생각해보자.[3] 그런데 우리는 방금 그것을 "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 많은 것"이라는 11단어[4]만으로 표현했으므로, 모든 것의 "가장 짧은 표현"은 9단어 이내여야 한다. 즉 모든 것은 11단어 이내로 표현 가능해야 한다! 따라서 존재하는 단어를 대충 넉넉히 1000만 개라고 하면, 이 세상에 존재하는 건 10^77개 이하이다.[5]